Câu hỏi:

06/11/2022 13,844

Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 6y + 5 = 0. Đường thẳng d đi qua điểm A(3; 2) và cắt (C) theo một dây cung ngắn nhất có phương trình là:

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Media VietJack

Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C).

Kẻ IH d. Suy ra H là trung điểm MN. Khi đó \(HN = \frac{1}{2}MN\).

∆IHN vuông tại H: IN2 = IH2 + HN2 (Định lí Pytago)

\( \Leftrightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2} = {R^2} - I{H^2}\)

Dây cung MN ngắn nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất. Tức là IA ≡ IH hay A ≡ H.

Khi đó IA d.

Suy ra d nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\).

Suy ra phương trình d: 1(x – 3) – 1(y – 2) = 0

x – y – 1 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 3.

Vì ∆ tiếp xúc với (C) nên ta có d(O, ∆) = R.

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 + 3.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3\)

|m| = 15

m = 15 hoặc m = –15.

Vậy m = 15 hoặc m = –15 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình (Cm) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2y + c = 0, với \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = m + 2\\ - 2b = - \left( {m + 4} \right)\\c = m + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{m + 2}}{2}\\b = \frac{{m + 4}}{2}\\c = m + 1\end{array} \right.\)

Để (Cm) là phương trình đường tròn thì a2 + b2 – c > 0.

\( \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - m - 1 > 0\)

m2 + 4m + 4 + m2 + 8m + 16 – 4m – 4 > 0

2m2 + 8m + 16 > 0, m ℝ.

Khi đó (Cm) luôn là đường tròn, với mọi giá trị của m.

Đường tròn (Cm) có tâm I có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{m + 2}}{2}\\y = \frac{{m + 4}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - m - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được 2x + 2y = –m – 2 + m + 4

2x + 2y – 2 = 0

x + y – 1 = 0.

Vậy khi m thay đổi, tâm của đường tròn (Cm) luôn nằm trên đường thẳng có phương trình x + y – 1 = 0.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP