Cho hàm số y = x² – 2x – 2 có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = x + m. Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất là:

Vì cổng có hình dạng parabol nên có phương trình y = ax² + bx + c (a ≠ 0) (1)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

 Ta có: A(– 81; 0) và B(81; 0) và M(– 71; 43)

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào (1) ta được:

0 = a.(– 81)² + b(– 81) + c ⇔ 6 561a – 81b + c = 0 (2)

0 = a.81² + b.81 + c ⇔ 6 561a + 81b + c = 0 (3)

43 = a.(– 71)² + b(– 71) + c ⇔ 5 041 a – 71b + c = 43 (4)

Lấy vế với vế của phương trình (2) trừ (3) ta được: – 162b = 0 ⇔ b = 0.

Khi đó:

(2) ⇔ 6 561a + c = 0

(4) ⇔ 5 041 a + c = 43

Từ đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}6561a+c=0\\ 5041a+c=43\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\approx -0,03\\ c\approx 185,6\end{array}\right.$

Suy ra ta có phương trình: y = – 0,03x² + 185,6.

Điểm H thuộc vào trục Oy nên x_H = 0 ⇒ y_H = – 0,03.0² + 185,6 = 185,6.

Vì vậy chiều cao của cổng chính là đoạn OH và bằng 185,6 m.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, có:

 nên I thuộc vào đoạn thẳng BC và thỏa mãn IC = 2IB.

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC, ta được:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA = $a^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2-2.a.a\sqrt{3}.cos30°=a^2$

⇒ BC = a

⇒ AB = BC = a

⇒ Tam giác ABC cân tại B

⇒ $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Ta lại có IC = 2IB nên IC = $\frac{2}{3}a$, IB = $\frac{1}{3}a$

Xét tam giác IAC có:

Áp dụng định lí cos, ta được:

IA² = AC² + IC² – 2.AC.IC.cos $\hat{C}$ = ${\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}a\right)}^2-2.a\sqrt{3}.\frac{2}{3}acos30°=\frac{13}{9}{a}^2$

$\widehat{C}=\widehat{A}=30°$⇔ IA = $\frac{\sqrt{13}}{3}a$.

Vậy IA = $\frac{\sqrt{13}}{3}a$.