Đảo giấu vàng. Trên hòn đảo có ba ngọn núi được xác định bởi ba điểm A, B, C. Vàng được dấu tại điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Hãy xác định vị trí của nơi giấu vàng và giải thích vì sao.

Xét tam giác MIE có $\widehat{\text{MIE}}=\widehat{\text{MEI}}\text{}$do:

$\widehat{\text{MIE}}$= $\widehat{\text{IEF}}$ ( do MN // EF và đây là 2 góc so le trong).

$\widehat{\text{MEI}}$ = $\widehat{\text{IEF}}$ ( do EI là tia phân giác góc E).

Suy ra tam giác MIE cân tại M. Có MI = ME.

Tương tự, xét tam giác NIF có $\widehat{\text{NFI }}\text{}=\widehat{\text{NIF}}\text{}$ do:

$\widehat{\text{NIF}}$ = $\widehat{\text{IFE}}$ ( do MN // EF và đây là hai góc so le trong).

$\widehat{\text{NFI}}$ = $\widehat{\text{IFE}}$ ( do FI là tia phân giác góc F).

Suy ra tam giác NIF cân tại N. Có NI = NF.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}$ và AC = AB.

BM là đường phân giác của tam giác ABC nên $\widehat{\text{ABM}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ABC}}\text{}$.

CN là đường phân giác của tam giác ABC nên $\widehat{\text{ACN}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ACB}}\text{}$.

Suy ra $\widehat{\text{ABM}}\text{}$ = $\widehat{\text{ACN}}$.

Xét tam giác ABM và tam giác ACN.

AB = AC.

Chung góc A.