Cho số phức z thỏa mãn z−2−3i=1. Giá trị lớn nhất của z¯+1+i là A. 13+2. B. 4. C. 6. D. 13+1.

Chọn D Gọi z=x+yi ta có z−2−3i=x+yi−2−3i=x−2+y−3i.Theo giả thiết x−22+y−32=1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I2;3 bán kính R=1.Ta có z¯+1+i=x−yi+1+i=x+1+1−yi=x+12+y−12.Gọi Mx;y và H−1;1 thì HM=x+12+y−12.Do chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.Phương trình HI:x=2+3ty=3+2t, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: 9t2+4t2=1⇔t=±113 nên M2+313;3+213, M2−313;3−213.Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM=13+1.

Câu hỏi:

11/12/2022 333

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 - 3 i| = 1$ . Giá trị lớn nhất của $|\bar{z} + 1 + i|$ là

\sqrt{13} + 2

B. 4.

C. 6.

\sqrt{13} + 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 12 : Min - Max số phức có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Gọi

z = x + y i

ta có

z - 2 - 3 i = x + y i - 2 - 3 i = x - 2 + (y - 3) i

.
Theo giả thiết

{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1

nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm

I (2; 3)

bán kính

R = 1

.
Ta có

|\bar{z} + 1 + i| = |x - y i + 1 + i| = |x + 1 + (1 - y) i| = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}

.
Gọi

M (x; y)

và

H (- 1; 1)

thì

H M = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{^{2}}}

.
Do chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
Phương trình

H I : \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}

, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:

9 t^{2} + 4 t^{2} = 1 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{13}}

nên

M (2 + \frac{3}{\sqrt{13}}; 3 + \frac{2}{\sqrt{13}}), M (2 - \frac{3}{\sqrt{13}}; 3 - \frac{2}{\sqrt{13}})

.
Tính độ dài MH ta lấy kết quả

H M = \sqrt{13} + 1

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

P = \sqrt{2}

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

P = \sqrt{3}

Lời giải

Chọn D.
+ Đặt

z = x + y i

x, y \in ℝ

ta có

|2 z - i| = |2 + i z| \Leftrightarrow |2 x + (2 y - 1) i| = |(2 - y) + x i|

\sqrt{4 x^{2} + {(2 y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(2 - y)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 y + 1 = 4 - 4 y + y^{2} + x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow |z| = 1 \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = 1

+ Sử dụng công thức:

\forall z_{1}, z_{2} \in ℂ

ta có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})

Suy ra

P = \sqrt{3}

Câu 2

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

P = 5 + 3 \sqrt{5} .

P = 2 \sqrt{26} .

P = 4 \sqrt{6} .

P = 34 + 3 \sqrt{2} .

Lời giải

Bổ đề. Cho hai số phức z₁ và z₂, ta luôn có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (*)

.
Chứng minh. Sử dụng công thức

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})

và

z . \bar{z} = {|z|}^{2}

. Khi đó

\begin{matrix} {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) + (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) \\ = z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} + z_{1} . \bar{z_{1}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} \\ = 2 (z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}}) = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \to đ p c m . \end{matrix}

Áp dụng (*), ta được

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 - {(\sqrt{3})}^{2} = 1 \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = 1.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki,

P = |z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = 2 \sqrt{26} .

ta được Chọn B.

Câu 3

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

\sqrt{10} + 1

3 \sqrt{5} - 1

\sqrt{\sqrt{101} + 1}

\sqrt{\sqrt{101} - 1}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

- 3 \leq m < 7

3 \leq m \leq 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

M_{\max} = 5; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 2.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

\sqrt{5} - 1

\sqrt{5} + 1

\sqrt{5} - 2

\sqrt{5} + 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 - 3 i| = 1$ . Giá trị lớn nhất của $|\bar{z} + 1 + i|$ là

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là: