Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng a . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Ta có: $SC\perp BD$ (vì $BD\perp AC,BD\perp SA$)

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ $OI\perp SC$ thì ta có $SC\perp \left(BID\right)$

Khi đó $\left(\widehat{\left(SBC\right),\left(SCD\right)}\right)=\widehat{BID}$

Trong tam giác SAC , kẻ đường cao AH  thì $AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên $OI=\frac{a}{\sqrt{6}}$

Tam giác IOD vuông tại O có $tan\widehat{OID}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{OID}={60}^0$

Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc  60^o

Giả sử hình chóp đã cho là S.ABCD có đường cao SH

Ta có: $\left(ABCD\right)\cap \left(SCD\right)=CD$

Gọi M là trung điểm của CD => dễ chứng minh được $SM\perp CD$ và $HM\perp CD$

$\Rightarrow \left(\left(ABCD\right),\left(SCD\right)\right)=\left(HM,SM\right)=\widehat{SMH}$

Mặt khác: $HM=\frac{1}{2}AD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H, ta có :

$\tan \widehat{SMH}=\frac{SH}{HM}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{SMH}=45°$