Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;0;-1\right),B\left(-3;-2;1\right).$  Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng (Oxy), bán kính $\sqrt{11}$   và đi qua hai điểm A, B. Biết I có tung độ âm, phương trình mặt cầu (S) là

Chú ý:

Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $∆$:

- Xác định điểm  $M\in \Delta .$

- Áp dụng công thức:  $d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.$

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm $AB\Rightarrow IH\perp AB$  tại  $H\Rightarrow IH=d_{\left(I;\left(AB\right)\right)}=d_{\left(I;Ox\right)}$

Lấy  $M\left(2;0;0\right)\in Ox\Rightarrow IH=d_{\left(I,Ox\right)}=\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM},\overrightarrow{i}\right]\right|}{\overrightarrow{i}}=\sqrt{3}.$

Bán kính mặt cầu cần tìm là  $R=IA=\sqrt{I{H}^2+H{A}^2}=4.$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=16.$

Chọn A.

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;2;-1\right)$  và bán kính R = 3.

Lấy điểm E sao cho $2\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}\iff E\left(5;5;-1\right).$  Ta có  $IE=5.$

Dễ thấy điểm E là điểm nằm ngoài mặt cầu (S).

Khi đó  $P=2M{A}^2-M{B}^2=2{\left(\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{AE}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{BE}\right)}^2=M{E}^2+2A{E}^2-B{E}^2.$

P lớn nhất và nhỏ nhất khi và chỉ khi ME lớn nhất và nhỏ nhất.

 $\max ME=IE+R=8;\min ME=IE-R=2.$

Do đó  $m=\max P=64+2A{E}^2-B{E}^2;n=\min P=4+2A{E}^2-B{E}^2.$

Suy ra  $m-n=60.$

Chọn B.