Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + .... + C_{2n + 1}^n = {2^{24}} - 1\). Tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^{2n}}\).

Đáp án A

Phương pháp:

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

Áp dụng nhị thức Niu-tơn.

Cách giải:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n - 1}\\...\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}\)

\( \Rightarrow A = \frac{{{2^{2n + 1}} - 2}}{2} = {2^{2n}} - 1\)

Theo giả thiết ta có \(A = {2^{24}} - 1 \Rightarrow n = 12\)

Khi đó \({\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^{24}} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^4}{\left( {2x - 1} \right)^{24}}\)

\( = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{28}}}}{{16}} = \frac{1}{{16}}\sum\limits_{k \to 0}^{28} {C_{28}^k{{.2}^k}.{x^k}.{{\left( { - 1} \right)}^{28 - k}}} \)

Khi đó hệ số của \({x^9}\) hay \(k = 9\) là \( - C_{28}^9{.2^5}\)