Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\) sao cho số đó chia hết cho 1111?
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án A
Phương pháp:
Sử dụng tính chất chia hết và phương pháp chặn.
Cách giải:
Đặt \(m = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \left( {{a_i} \in A,{a_i} \ne {a_j}\forall i;j = \overline {1;8} } \right).\)
Do \({a_i} \in A\), các \({a_i} \ne {a_j}\forall i;j = \overline {1;8} \) nên \(\sum\limits_{i = 1}^8 {{a_i}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.\)
Do đó \(m \vdots 9\). Mà \(m \vdots 1111\left( {gt} \right) \Rightarrow m \vdots 9999.\)
Đặt \(p = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ;q = \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) ta có:
\(m = p{.10^4} + q = 9999.p + \left( {p + q} \right) \vdots 9999 \Rightarrow \left( {p + q} \right) \vdots 9999.\)
Do \(0 < p,q < 9999 \Rightarrow 0 < p + q < 2.9999\)
Mà \(\left( {p + q} \right) \vdots 9999 \Rightarrow p + q = 9999 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_5} = 9\\{a_2} + {a_6} = 9\\{a_3} + {a_7} = 9\\{a_4} + {a_8} = 9\end{array} \right..\)
Có 4 cặp có tổng bằng 9 là \(\left( {1;8} \right);\left( {2;7} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;5} \right).\)
Suy ra có 8 cách chọn \({a_1}\), ứng với mỗi cách chọn \({a_1}\) có 1 cách chọn \({a_5}.\)
6 cách chọn \({a_2}\left( { \ne {a_1}, \ne {a_5}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_2}\) có 1 cách chọn \({a_6}.\)
4 cách chọn \({a_3}\left( { \ne {a_1},{a_2},{a_5},{a_6}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_3}\) có 1 cách chọn \({a_7}.\)
2 cách chọn \({a_4}\left( { \ne {a_1};{a_2};{a_3};{a_5};{a_6};{a_7}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_4}\) có 1 cách chọn \({a_8}.\)
Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả \(8.6.4.2 = 384\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án D
Phương pháp:
Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì các giao tuyến của chúng hoặc song song hoặc đồng quy.
Cách giải:
\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}\\\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}\\\left( \gamma \right) \cap \left( \alpha \right) = {d_3}\end{array} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_1}\parallel {d_2}\parallel {d_3}\\{d_1},{d_2},{d_3}\,\,dong\,\,quy\end{array} \right.\)
Lời giải
Phương pháp:
a) Xác định các điểm chung của hai mặt phẳng.
b) Chứng minh EF song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
c) Tìm giao điểm của SB với một đường thẳng nằm trong \(\left( {CDE} \right)\) và tìm giao điểm cả SC với một đường thẳng nằm trong \(\left( {EFM} \right).\) Từ đó suy ra thiết diện.
d) Sử dụng công thức: \(\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{KEF}}}} = \frac{{KM}}{{KE}}.\frac{{KN}}{{KF}}.\)
Cách giải:
a) * Tìm \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = ?\)
+ Dễ thấy S là điểm chung thứ nhất.
+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset SBD \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai.
Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO.\)
* Tìm \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = ?.\)
+ Dễ thấy S là điểm chung thứ nhất.
+ Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \supset AD\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\AD\parallel BC\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right),\left( {SBC} \right)\] cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng qua S và song song với AD, BC.
Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ đường thẳng d qua S và \(d\parallel AD\parallel BC \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d.\)
b) Ta có: EF là đường trung bình của \(\Delta SAD\) nên \(EF\parallel AD\) (Tính chất đường trung bình của tam giác).
Mà \(AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow EF\parallel \left( {ABCD} \right).\)
Ta có: \(EF\parallel AD\), mà \(AD\parallel BC\left( {gt} \right) \Rightarrow EF\parallel BC.\)
Lại có \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow EF\parallel \left( {SBC} \right).\)
c) Trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(M = EK \cap SB\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SB\\M \in EK \subset \left( {CDE} \right) \Rightarrow M \in \left( {CDE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M = SB \cap \left( {CDE} \right).\)
Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(N = FK \cap SC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in SC\\N \in FK \subset \left( {EFM} \right) \Rightarrow M \in \left( {EFM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N = SC \cap \left( {EFM} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {KEF} \right) \cap \left( {SAB} \right) = EM\\\left( {KEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\\left( {KEF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NF\\\left( {KEF} \right) \cap \left( {SAD} \right) = EF\end{array} \right. \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {KEF} \right)\) là tứ giác EMNF.
d) Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác FKD ta có: \(\frac{{CD}}{{CK}}.\frac{{NK}}{{NF}}.\frac{{SF}}{{SD}} = 1.\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{KC}}{{KD}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow C\) là trung điểm của \(KD \Rightarrow \frac{{CK}}{{CD}} = 1.\)
F là trung điểm của \(SD\left( {gt} \right) \Rightarrow \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\)
\( \Rightarrow 1.\frac{{NK}}{{NF}}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{NK}}{{NF}} = 2.\)
Tương tự ta có: \(\frac{{MK}}{{ME}} = 2.\)
Suy ra \(\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{KEF}}}} = \frac{{KM}}{{KE}}.\frac{{KN}}{{KF}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.