Câu hỏi:
02/02/2023 141
Cho \(n \in {\rm N},\,\,n \ge 2\). Chứng minh rằng \(C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\frac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}\).
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp:
Áp dụng: \[C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}\] và BĐT Cô si
Cách giải:
Ta có: \[C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n} \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} = {2^n} - 2\]
Áp dụng BĐT Cô si cho \[n - 1\] số dương \[C_n^1,\,C_n^2,\,...,\,C_n^{n - 1}\] ta có:
\[C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{C_n^1C_n^2\,...C_n^{n - 1}}},\,\forall n \in \mathbb{N},\,n \ge 2\]
\[ \Rightarrow {2^n} - 2 \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{C_n^1C_n^2\,...C_n^{n - 1}}} \Leftrightarrow C_n^1C_n^2\,...C_n^{n - 1} \le {\left( {\frac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow C_n^0C_n^1C_n^2\,...C_n^{n - 1}C_n^n \le {\left( {\frac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}\]
(do \[C_n^0 = C_n^n = 1\])
Vậy, \[C_n^0C_n^1C_n^2\,...C_n^n \le {\left( {\frac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}},\,\forall n \in \mathbb{N},\,n \ge 2\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức \(x{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^6} + {\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)^8}\) bằng
Xem đáp án »
02/02/2023
3,754
Câu 2:
Tập giá trị của hàm số \(y = \frac{{2\sin 2{\rm{x}} + \cos 2x}}{{\sin 2x - \cos 2x + 3}}\) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
Xem đáp án »
02/02/2023
3,057
Câu 3:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(MNP) là hình gì trong các hình sau?
Xem đáp án »
02/02/2023
2,571
Câu 4:
Có hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8; người thứ hai bắn trúng bia là 0,6. Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là:
Xem đáp án »
02/02/2023
2,542
Câu 5:
Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều là số chẵn.
Xem đáp án »
02/02/2023
2,488
Câu 6:
Một đa giác lồi có 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?
Xem đáp án »
02/02/2023
1,429
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy lớn \(BC = 2{\rm{a}}\) và \(A{\rm{D}} = AB = a\). Mặt bên SAD là tam giác đều. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AB. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua M và song song với SA, BC, cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh: \(PN//\left( {SA{\rm{D}}} \right)\).
b) Gọi E là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng E luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
c) Giả sử \(AM = x\,\left( {0 < x < a} \right)\). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp S.ABCD theo a và x. Tìm vị trí của M để thiết diện đạt giá trị lớn nhất?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy lớn \(BC = 2{\rm{a}}\) và \(A{\rm{D}} = AB = a\). Mặt bên SAD là tam giác đều. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AB. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua M và song song với SA, BC, cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh: \(PN//\left( {SA{\rm{D}}} \right)\).
b) Gọi E là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng E luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
c) Giả sử \(AM = x\,\left( {0 < x < a} \right)\). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp S.ABCD theo a và x. Tìm vị trí của M để thiết diện đạt giá trị lớn nhất?
Xem đáp án »
13/07/2024
961
về câu hỏi!