Câu hỏi:

11/07/2024 315

Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \[\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right]\]

\[y = \cos 2x + \sin {\mkern 1mu} x - \sqrt 3 \left( {\sin 2x + \cos x} \right) + 3\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải:

\[\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\]

\[\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\]

Giải chi tiết:

\[y = \cos 2x + \sin {\mkern 1mu} x - \sqrt 3 \left( {\sin 2x + \cos x} \right) + 3\]\[ \Leftrightarrow y = \left( {\cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x} \right) + \left( {\sin {\mkern 1mu} x - \sqrt 3 \cos x} \right) + 3\]

\[ \Leftrightarrow y = - 2\left( {\frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2\left( {\frac{1}{2}\sin {\mkern 1mu} x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3\]

\[ \Leftrightarrow y = - 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos 2x + \sin \frac{{2\pi }}{3}\sin 2x} \right) + 2\left( {\cos \frac{\pi }{3}\sin {\mkern 1mu} x - \sin \frac{\pi }{3}\cos x} \right) + 3\]

\[ \Leftrightarrow y = - 2\cos \left( {2x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) + 3\]\[ \Leftrightarrow y = 4{\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1\]

Ta có: \[x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right] \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{6}} \right]{\mkern 1mu} \]

Khi đó: \[\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \in \left[ { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right]{\mkern 1mu} \Leftrightarrow 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \in \left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]{\mkern 1mu} \]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} + t + 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left[ { - \sqrt 3 ;1} \right],{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f'\left( t \right) = 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\]

Hàm số \[f\left( t \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]\] có \[f\left( { - \sqrt 3 } \right) = 4 - \sqrt 3 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( 1 \right) = 3\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 3\]\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{3}{4},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right]} y = 3\]

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, SO.

a) Xác định thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MNE} \right)\].

b) Mặt phẳng \[\left( {MNE} \right)\] cắt SD tại K, tính tỉ số \[\frac{{KS}}{{KD}}\].

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết:

Media VietJack

a) Trong (ABCD), gọi \[I = MN \cap AD,\]\[J = MN \cap CD\], \[F = MN \cap BD\]

Trong (SBD), gọi \[K = EF \cap SD\]

Trong (SAD), gọi \[Q = IK \cap SA\]

Trong (SAD), gọi \[P = JK \cap SC\]

Khi đó, thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MNE} \right)\] là ngũ giác \[MNPKQ\]

b) MN là đường trung bình của \[\Delta ABC \Rightarrow MN//AC\]

\[ \Rightarrow MF{\rm{//}}AC \Rightarrow \] F là trung điểm của OB \[ \Rightarrow BF = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{4}BD \Rightarrow BF = \frac{1}{3}FD\]

Xét \[\Delta SOB\] có: E, F lần lượt là trung điểm của SO, OB \[ \Rightarrow EF\] là đường trung bình của \[\Delta SOB\]

\[ \Rightarrow EF{\rm{//}}SB \Rightarrow FK{\rm{//}}SB \Rightarrow \frac{{KS}}{{KD}} = \frac{{BF}}{{DF}} = \frac{1}{3}\]

Vậy, \[\frac{{KS}}{{KD}} = \frac{1}{3}\]

Câu 2

Phương trình \[{\sin ^2}x = 1\] tương đương với phương trình nào sau đây?

A. \[\sin x = 1\]

B. \[\cos x = - 1\]

C. \[\cos 2x = 1\]

D. \[\cos 2x = - 1\]

Lời giải

Đáp án D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi: \[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\]

Giải chi tiết:

Ta có: \[{\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2.1 = - 1\]

Câu 3

d. Cho 15 viên bi, trong đó có 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu vàng, 6 viên bi màu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên vi trong 15 viên bi nói trên. Tính xác suất để chọn được đúng 2 viên bi màu xanh.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 vào một hàng ghế dài gồm 9 ghế sao cho mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa 2 học sinh lớp 11?

A. \[6!.C_5^3\]

B. \[6!.A_5^3\]

C. \[A_9^6.A_5^3\]

D. \[3!.6!\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trên khoảng \[\left( { - \frac{{3\pi }}{4};\frac{\pi }{4}} \right)\] tập giá trị của hàm số \[y = \cos x\] là:

A. \[\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

B. \[\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right)\]

C. \[\left[ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\]

D. \[\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAB. Điều kiện nào của AB và CD để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (IJG) là hình bình hành?

A. \[AB = CD\]

B. \[AB = \frac{2}{3}CD\]

C. \[AB = \frac{3}{2}CD\]

D. \[AB = 3CD\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và đường thẳng \[d\not \subset \left( \alpha \right)\]. Khẳng định nào sau đây SAI?

A. Nếu d song song với \[\left( \alpha \right)\] thì trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] tồn tại đường thẳng d’ song song với d.

B. Nếu d song song với \[\left( \alpha \right)\] và đường thẳng \[d' \subset \left( \alpha \right)\] thì d’ song song với d.

C. Nếu d song song với \[d'\] và đường thẳng \[d' \subset \left( \alpha \right)\] thì d song song với (α).

D. Nếu d cắt mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] tại A và d’ là một đường thẳng bất kì trong \[\left( \alpha \right)\] thì d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập