Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 vào một hàng ghế dài gồm 9 ghế sao cho mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa 2 học sinh lớp 11?

Giải chi tiết:

a) Trong (ABCD), gọi \[I = MN \cap AD,\]\[J = MN \cap CD\], \[F = MN \cap BD\]

Trong (SBD), gọi \[K = EF \cap SD\]

Trong (SAD), gọi \[Q = IK \cap SA\]

Trong (SAD), gọi \[P = JK \cap SC\]

Khi đó, thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MNE} \right)\] là ngũ giác \[MNPKQ\]

b) MN là đường trung bình của \[\Delta ABC \Rightarrow MN//AC\]

\[ \Rightarrow MF{\rm{//}}AC \Rightarrow \] F là trung điểm của OB \[ \Rightarrow BF = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{4}BD \Rightarrow BF = \frac{1}{3}FD\]

Xét \[\Delta SOB\] có: E, F lần lượt là trung điểm của SO, OB \[ \Rightarrow EF\] là đường trung bình của \[\Delta SOB\]

\[ \Rightarrow EF{\rm{//}}SB \Rightarrow FK{\rm{//}}SB \Rightarrow \frac{{KS}}{{KD}} = \frac{{BF}}{{DF}} = \frac{1}{3}\]

Vậy, \[\frac{{KS}}{{KD}} = \frac{1}{3}\]

Đáp án D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi: \[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\]

Giải chi tiết:

Ta có: \[{\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2.1 = - 1\]