Cho tứ diện OABC có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm O đến các đường thẳng BC,CA,AB lần lượt là $a,a\sqrt{2},a\sqrt{3}.$ Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) theo a.       

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là (làm tròn đến hàng đơn vị)               

Cho hàm số bậc ba $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d.

Bất phương trình ${\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge {\log }_{0,5}\left(x-1\right)+1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc $\left[0;2021\right]?$

Cho hàm số $y=\frac{\left(2m-1\right)x-m}{x+m}\left(m\ne 0\right)$ có đồ thị $\left(C_m\right)$. Biết rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng (d) có phương trình $y=ax+b$ sao cho $\left(C_m\right)$ luôn tiếp xúc với (d). Giá trị của a+ b là 

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại $A,BAC={120}^0$ và các cạnh bên hợp với đáy một góc bằng

 Hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC). Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)$ bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}.$

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathrm{ℝ} ?$ 

Một lớp học có 20 nữ và 15 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn sao cho có đủ  nam, nữ và số nam ít hơn số nữ?