Cho tứ diện đều ABCD. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD). Tính $\cos \phi .$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x{}^2+y^2+z^2-2(x+2y+3z)=0.$ Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm ( khác gốc tọa độ O) của mặt cầu (S) và các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là:  

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. thể tích khối đa diện MBP.A’B’N’ là:

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$ và $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0.$ Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\frac{\pi }{8},\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)sin2xdx=-\frac{\pi }{4}.$ Tính tích phân$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{8}}{\int }}f\left(2x\right)dx.$ 

Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật. $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến (A’BD) .