Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$ và $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0.$ Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\frac{\pi }{8},\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)sin2xdx=-\frac{\pi }{4}.$ Tính tích phân$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{8}}{\int }}f\left(2x\right)dx.$ 

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật. $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến (A’BD) .  

Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường $x=a,x=b,(a<b)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

Cho hàm số$y=\frac{x+2}{x-2}$ có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;-2;-1),B(1;4;3).$Độ dài đoạn AB là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x{}^2+y^2+z^2-2(x+2y+3z)=0.$ Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm ( khác gốc tọa độ O) của mặt cầu (S) và các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là:  

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. thể tích khối đa diện MBP.A’B’N’ là: