Giả sử $\underset{1}{\overset{2}{}}\frac{1}{2x+1}dx=\ln \sqrt{\frac{a}{b}}$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$và $a,b<10$. Tính $M=a+b^2$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y -2z -5 = 0 và mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=4$. Tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;1] thỏa mãn $\underset{-1}{\overset{1}{}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=5$ và f(-1)= 4. Tìm f(1).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn f(1) =2 và f(3)=9. Tính $\underset{1}{\overset{3}{}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f\left(1\right)=\mathrm{5,}\underset{0}{\overset{1}{}}f\left(x\right)dx=12$. Tính $J=\underset{0}{\overset{1}{}}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng y =mx với $m\ne 0$. Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m để diện tích hình phẳng (H) là số nhỏ hơn 20?

Biết $I=\underset{2}{\overset{4}{}}\frac{2x+1}{x^2+x}dx=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5$ với a, b, c là các số nguyên. Tính P = 2a +3b + 4c.