Câu hỏi:

11/02/2023 258

Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \[\Delta \] là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \[M\] (có hoành độ dương) sao cho\[\Delta \] cùng với hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tạo thành tam giác có có chu vi nhỏ nhất.

Đáp án chính xác

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi \[M\] là tiếp điểm, ta có:\[M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0} + 1}}} \right)\].
Ta có:\[y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow k = y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{2}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
\[\Delta :y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 - 1}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]
Hai đường tiệm cận là \({d_1}:y = 1\) và \({d_2}:x = - 1\). Giao điểm của hai đường tiệm với tiếp tuyến là \[A\left( { - 1;\frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right)\] và \[B\left( {2{x_0} + 1;1} \right)\]. Giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( { - 1;1} \right)\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}IA = \frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\\IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\\AB = 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\].
Chu vi là: \[IA + IB + AB = \frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} + 1} \right| + 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]
Theo BĐT Cauchy ta có
\[\begin{array}{l}\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} + 1} \right| + 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\\ \ge 4\left( {\sqrt[4]{{\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\left( {2\left| {{x_0} + 1} \right|} \right)\left( {4{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}} \right)\frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}}}} \right) = 16\left( {\sqrt[4]{2}} \right)\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\[\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 2\left| {{x_0} + 1} \right| = 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x_0} = - 1 \pm \sqrt 2 \]
+ Với \[{x_0} = - 1 - \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {\Delta _1}:y = x + 2\sqrt 2 + 2\]
+ Với \[{x_0} = - 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = 1 - \sqrt 2 \Rightarrow {\Delta _2}:y = x - 2\sqrt 2 + 2\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,; - 10} \right)\)?

Xem đáp án » 11/02/2023 76,932

Câu 2:

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là \(60\,{\rm{cm}}\), thể tích \[96000\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\]. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành \(70000\)VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành \(100000\) VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

Xem đáp án » 11/02/2023 21,220

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 2020\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

Xem đáp án » 11/02/2023 19,244

Câu 4:

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng \({a^2}\) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Xem đáp án » 11/02/2023 13,619

Câu 5:

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), khoảng cách từ \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) bằng \(\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}.\) Tính theo \(a\) thể tích khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\,.\)

Xem đáp án » 11/02/2023 11,374

Câu 6:

Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + {y^2}\).

Xem đáp án » 11/02/2023 5,672

Câu 7:

Trên khoảng \(\left( { - \pi \,;\,\pi } \right)\) đồ thị hàm số \(y = \sin x\) được cho như hình vẽ:

Media VietJack

Hỏi hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Xem đáp án » 11/02/2023 5,377

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store