Câu hỏi:
11/02/2023 390
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \[\Delta \] là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \[M\] (có hoành độ dương) sao cho\[\Delta \] cùng với hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tạo thành tam giác có có chu vi nhỏ nhất.
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi \[M\] là tiếp điểm, ta có:\[M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0} + 1}}} \right)\].
Ta có:\[y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow k = y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{2}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
\[\Delta :y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 - 1}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]
Hai đường tiệm cận là \({d_1}:y = 1\) và \({d_2}:x = - 1\). Giao điểm của hai đường tiệm với tiếp tuyến là \[A\left( { - 1;\frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right)\] và \[B\left( {2{x_0} + 1;1} \right)\]. Giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( { - 1;1} \right)\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}IA = \frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\\IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\\AB = 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\].
Chu vi là: \[IA + IB + AB = \frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} + 1} \right| + 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]
Theo BĐT Cauchy ta có
\[\begin{array}{l}\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} + 1} \right| + 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\\ \ge 4\left( {\sqrt[4]{{\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\left( {2\left| {{x_0} + 1} \right|} \right)\left( {4{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}} \right)\frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}}}} \right) = 16\left( {\sqrt[4]{2}} \right)\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\[\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 2\left| {{x_0} + 1} \right| = 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x_0} = - 1 \pm \sqrt 2 \]
+ Với \[{x_0} = - 1 - \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {\Delta _1}:y = x + 2\sqrt 2 + 2\]
+ Với \[{x_0} = - 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = 1 - \sqrt 2 \Rightarrow {\Delta _2}:y = x - 2\sqrt 2 + 2\].
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Ta có \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\,\,\left( {x \ne - 5m} \right)\), đạo hàm \(y' = \frac{{5m - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\ - 5m \notin \left( { - \infty \,; - 10} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 2 > 0\\ - 5m \ge - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} < m \le 2\).
Do \(m \in \mathbb{Z}\), nên \(m \in \left\{ {1\,;2} \right\}\). Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải
Lời giải
Gọi \[x,\;y\left( {\rm{m}} \right)\], \[\left( {x > 0,y > 0} \right)\] là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.
Khi đó theo đề ta suy ra \[0,6xy = 0,096 \Leftrightarrow y = \frac{{0,16}}{x}\].
Giá thành của bể cá được xác định theo hàm số sau:
\[f\left( x \right) = 2.0,6\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right).70000 + 100000.x.\frac{{0,16}}{x}\]
\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000\]
Ta có \[f'\left( x \right) = 84000\left( {1 - \frac{{0,16}}{{{x^2}}}} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là \[f\left( {0,4} \right) = 83200\] VNĐ.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận