Câu hỏi:
11/02/2023 267Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ sau:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({f^2}\left( {\sin x} \right) - \left( {m + 1} \right)f\left( {\sin x} \right) + 2m - 2 = 0\) có đúng \(4\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;2\pi } \right]\).
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có \({f^2}\left( {\sin x} \right) - \left( {m + 1} \right)f\left( {\sin x} \right) + 2m - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\sin x} \right) = 2 & \left( 1 \right)\\f\left( {\sin x} \right) = m - 1 & \left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy \(f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\left( {a < - 1} \right)\\x = b\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\\x = c\,\,\left( {1 < c} \right)\end{array} \right.\)
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = a\,\,\left( {a < - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\rm{L}} \right)\\\sin x = b\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\\\sin x = c\,\,\left( {1 < c} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\].
Phương trình \(\sin x = b\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0\,;2\pi } \right]\).
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t' = \cos x\), xét \(t' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2}\\x = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
+) Với \({t_0} = - 1\) hay \({t_0} = 1\), phương trình \(\sin x = {t_o}\) có \(1\) nghiệm \[{x_0}\].
+) Với \({t_0} \in \left( { - 1\,;0} \right)\) hay \({t_0} \in \left( {0\,;1} \right)\), phương trình \(\sin x = {t_o}\) có \(2\) nghiệm \[{x_0}\] phân biệt.
+) Với \({t_0} = 0\), phương trình \(\sin x = {t_o}\) có \(3\) nghiệm \[{x_0}\] phân biệt.
Với cách đặt \(t = \sin x\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành \(f\left( t \right) = m - 1\) \(\left( 3 \right)\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 3 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm \({t_0}\) sao cho \({t_0} \in \left( { - 1\,;0} \right)\) hay \({t_0} \in \left( {0\,;1} \right)\) đồng thời nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) phải khác nhau.
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 1 < m - 1 < 1\\1 < m - 1 < 3\end{array} \right.\\m - 1 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0 < m < 2\\2 < m < 4\end{array} \right.\\m \ne 3\end{array} \right.\], mà \(m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(m = 1\).
Vậy có \(1\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,; - 10} \right)\)?
Xem đáp án »
11/02/2023
76,581
Câu 2:
Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là \(60\,{\rm{cm}}\), thể tích \[96000\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\]. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành \(70000\)VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành \(100000\) VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
Xem đáp án »
11/02/2023
20,628
Câu 3:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 2020\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Xem đáp án »
11/02/2023
19,145
Câu 4:
Cho khối chóp có diện tích đáy bằng \({a^2}\) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Xem đáp án »
11/02/2023
13,599
Câu 5:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), khoảng cách từ \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) bằng \(\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}.\) Tính theo \(a\) thể tích khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\,.\)
Xem đáp án »
11/02/2023
11,358
Câu 6:
Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + {y^2}\).
Xem đáp án »
11/02/2023
5,578
Câu 7:
Trên khoảng \(\left( { - \pi \,;\,\pi } \right)\) đồ thị hàm số \(y = \sin x\) được cho như hình vẽ:
Hỏi hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Xem đáp án »
11/02/2023
5,323
về câu hỏi!