Câu hỏi:
11/02/2023 496Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ sau:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({f^2}\left( {\sin x} \right) - \left( {m + 1} \right)f\left( {\sin x} \right) + 2m - 2 = 0\) có đúng \(4\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;2\pi } \right]\).
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có \({f^2}\left( {\sin x} \right) - \left( {m + 1} \right)f\left( {\sin x} \right) + 2m - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\sin x} \right) = 2 & \left( 1 \right)\\f\left( {\sin x} \right) = m - 1 & \left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy \(f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\left( {a < - 1} \right)\\x = b\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\\x = c\,\,\left( {1 < c} \right)\end{array} \right.\)
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = a\,\,\left( {a < - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\rm{L}} \right)\\\sin x = b\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\\\sin x = c\,\,\left( {1 < c} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\].
Phương trình \(\sin x = b\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0\,;2\pi } \right]\).
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t' = \cos x\), xét \(t' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2}\\x = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
+) Với \({t_0} = - 1\) hay \({t_0} = 1\), phương trình \(\sin x = {t_o}\) có \(1\) nghiệm \[{x_0}\].
+) Với \({t_0} \in \left( { - 1\,;0} \right)\) hay \({t_0} \in \left( {0\,;1} \right)\), phương trình \(\sin x = {t_o}\) có \(2\) nghiệm \[{x_0}\] phân biệt.
+) Với \({t_0} = 0\), phương trình \(\sin x = {t_o}\) có \(3\) nghiệm \[{x_0}\] phân biệt.
Với cách đặt \(t = \sin x\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành \(f\left( t \right) = m - 1\) \(\left( 3 \right)\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 3 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm \({t_0}\) sao cho \({t_0} \in \left( { - 1\,;0} \right)\) hay \({t_0} \in \left( {0\,;1} \right)\) đồng thời nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) phải khác nhau.
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 1 < m - 1 < 1\\1 < m - 1 < 3\end{array} \right.\\m - 1 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0 < m < 2\\2 < m < 4\end{array} \right.\\m \ne 3\end{array} \right.\], mà \(m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(m = 1\).
Vậy có \(1\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Ta có \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\,\,\left( {x \ne - 5m} \right)\), đạo hàm \(y' = \frac{{5m - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\ - 5m \notin \left( { - \infty \,; - 10} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 2 > 0\\ - 5m \ge - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} < m \le 2\).
Do \(m \in \mathbb{Z}\), nên \(m \in \left\{ {1\,;2} \right\}\). Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải
Lời giải
Gọi \[x,\;y\left( {\rm{m}} \right)\], \[\left( {x > 0,y > 0} \right)\] là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.
Khi đó theo đề ta suy ra \[0,6xy = 0,096 \Leftrightarrow y = \frac{{0,16}}{x}\].
Giá thành của bể cá được xác định theo hàm số sau:
\[f\left( x \right) = 2.0,6\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right).70000 + 100000.x.\frac{{0,16}}{x}\]
\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000\]
Ta có \[f'\left( x \right) = 84000\left( {1 - \frac{{0,16}}{{{x^2}}}} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là \[f\left( {0,4} \right) = 83200\] VNĐ.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo