Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng \(1\) mét. Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng?

Lời giải

Chọn C

Kẻ \(AH \bot CD,BK \bot CD \Rightarrow ABKH\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB = HK = 1\left( m \right).\)

Đặt \(DH = x.\) Khi đó \(AH = \sqrt {1 - {x^2}} \left( {0 < x < 1} \right).\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền – góc nhọn)

  \( \Rightarrow DH = CK = x \Rightarrow CD = DH + HK + CK = 2x + 1.\)

Ta có \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} = \frac{{\left( {1 + 2x + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} }}{2} = \left( {x + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} .\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} \left( {0 < x < 1} \right),\) ta có

\(f'\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}\left( n \right)}\\{x = - 1\left( l \right)}\end{array}} \right..\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f\left( x \right) \le f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy diện tích lớn nhất của hình thang \(ABCD\) là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {{m^2}} \right).\)