Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60° , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC^=60°. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm củaΔABC...

Lời giải Chọn D Gọi G là trọng tâm ΔABC . ⇒B'G⊥ABC. là hình chiếu của BB' lên ABC . ⇒BB',ABC^=BB',BG^=B'GB^=60° (vì ΔBB'G vuông tại G nên B'GB^ nhọn). ⇒B'G=BB'.sin60°=a32 ; BG=BB'.cos60°=a2 . Gọi ΔABC là trung điểm AC . Lại có : ΔABC vuông tại C và góc BAC^=60°⇒BC=AC.tan60°=AC.3 . ΔBCM vuông tại C⇒BC2+MC2=BM2⇔3AC2+AC24=9a216⇔AC=3a1326 . ⇒BC=3a3926⇒SΔABC=12BC.AC=9a23104 . ABC//A'B'C'⇒dA',ABC=dB',ABC=B'G=a32. Thể tích của khối tứ diện A'.ABC : VA'.ABC=13.B'G.SΔABC=13.a32.9a23104=9a3208 .

Câu hỏi:

18/02/2023 324

Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng $60 °$ , tam giác ABC vuông tại C và góc $\hat{B A C} = 60 °$ . Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của $Δ A B C$ . Thể tích của khối tứ diện theo $A^{'} . A B C$ bằng a

A. $\frac{13 a^{3}}{108}$

B. $\frac{15 a^{3}}{108}$

C. $\frac{7 a^{3}}{106}$

D. $\frac{9 a^{3}}{208}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Chọn D

Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60 độ , tam giác ABC vuông tại C (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm $Δ A B C$ .

$\Rightarrow B^{'} G ⊥ (A B C)$ .

là hình chiếu của $B B^{'}$ lên $(A B C)$ .

$\Rightarrow (\hat{B B^{'}, (A B C)}) = (\hat{B B^{'}, B G}) = \hat{B^{'} G B} = 60 °$ (vì $Δ B B^{'} G$ vuông tại G nên $\hat{B^{'} G B}$ nhọn).

$\Rightarrow B^{'} G = B B^{'} . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ ; $B G = B B^{'} . \cos 60 ° = \frac{a}{2}$ .

Gọi $Δ A B C$ là trung điểm AC .

Lại có : $Δ A B C$ vuông tại C và góc $\hat{B A C} = 60 °$ $\Rightarrow B C = A C . \tan 60 ° = A C . \sqrt{3}$ .

$Δ B C M$ vuông tại C $\Rightarrow B C^{2} + M C^{2} = B M^{2} \Leftrightarrow 3 A C^{2} + \frac{A C^{2}}{4} = \frac{9 a^{2}}{16} \Leftrightarrow A C = \frac{3 a \sqrt{13}}{26}$ .

$\Rightarrow B C = \frac{3 a \sqrt{39}}{26} \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A C = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104}$ .

$(A B C) // (A^{'} B^{'} C^{'}) \Rightarrow d (A^{'}, (A B C)) = d (B^{'}, (A B C)) = B^{'} G = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Thể tích của khối tứ diện $A^{'} . A B C$ : $V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . B^{'} G . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104} = \frac{9 a^{3}}{208}$ .

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0, b > 0, c < 0, d < 0$

B. $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$

C. $a > 0, b > 0, c > 0, d < 0$

D. $a < 0, b > 0, c > 0, d < 0$

Lời giải

Chọn A

Cho hàm số bậc ba y= ax^3+bx^2+cx+d ( a khác 0) có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 2)

Từ đồ thị ta có $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty$ , $\lim_{x \to - \infty} y = + \infty$ do đó $a < 0$ (1).

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Oy tại điểm có tung độ $y = d$ , từ đồ thị đã cho suy ra $d < 0$ (2).

Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại $x_{1}$ , đạt cực đại tại $x_{2}$ , từ đó $x_{1}$ , $x_{2}$ là nghiệm của phương trình $3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ , theo viet ta có: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} \end{matrix}$ .

Từ đồ thị đã cho ta có $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} > 0 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} > 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} b > 0 \\ c < 0 \end{matrix}$ (3).

Từ (1), (2), (3) chọn A.

Câu 2

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABC) là $60 °$ . Tính thể tích V khối chóp SABC .

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$

D. $V = 2 a^{3}$

Lời giải

Chọn D

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. (ảnh 1)

Do hai mặt bên ( SAB) và ( SAC) cùng vuông góc với đáy nên suy ra $S A ⊥ (A B C)$ .

$\hat{(S B, (A B C))} = \hat{S B A} = 60^{o}$ .

Trong tam giác vuông SAB , ta có $S A = A B . \tan \hat{S B A} = 2 \sqrt{3} a$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{3} a \cdot \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 a^{3}

Câu 3

a. Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 1.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB= 2a , AD=DC=a , SA=a và $S A ⊥ (A B C D)$ . của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và $(A B C D)$ là

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $5 x + y - 2 = 0$

A. $y = 5 x + 2$

B. $y = - 5 x + 2$ hoặc $y = - 5 x + 22$

C. $y = - 5 x + 22$

D. $y = - 5 x + 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có AB=a ; A'B tạo với mặt đáy (ABC) một góc 60 $°$ . Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$

B. $V = \frac{3}{2} a^{3}$

C. $V = \frac{3}{4} a^{3}$

D. $V = 3 a^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ dài bằng 8a . Gọi M là trung điểm của BC , hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AM và $S B = \frac{25 a}{2}$ . Khoảng cách từ đến mặt phẳng (ABC) là:

A. $\frac{2 a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

B. $\frac{4 a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

C. $\frac{a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

D. $\frac{a \sqrt{1042}}{2 \sqrt{259}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý