Cho bất phương trình m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15. Tìm các giá trị nguyên của tham số m∈−9 ; 9 để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈−1 ; 1.

Bpt: m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15m1−x−31+x−2≥28x−61−x2+15 (1). Đặt t=1−x−31+x với x∈−1 ; 1.t'=−121−x−321+x<0 ∀x∈−1 ; 1.Suy ra t nghịch biến trên −1 ; 1.Nên t1≤t≤t−1 <=> −32≤t≤2 Ta có t2=8x+10−61−x2 <=> 2t2−5=28x−61−x2+15.Khi đó (1) trở thành: mt−2≥2t2−5 với t∈−32 ; 2. <=> m≤2t2−5t−2(2)với t∈−32 ; 2vì t∈−32 ; 2nên t−2<0(2) với (vì nên ). Xét hàm số ft=2t2−5t−2 trên đoạn −32 ; 2.f't=4tt−2−2t2−5t−22=2t2−8t+5t−22.f't=0 <=> t=4+62(loại)t=4−62 f(−32)=62−93214≈−4,97;f(2)=2+22≈1,7;f4−62=8−26≈3,1(1) nghiệm đúng với mọi x∈−1 ; 1 <=> (2) nghiệm đúng với mọi t∈−32 ; 2 <=> m≤min−32 ;2ft=f−32=62−93214≈−4,97Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: m∈ℤm∈−9 ; 9m≤62−93214≈−4,97 <=> m∈−9 ; −8 ; −7 ; −6 ; −5.Vậy m∈−9 ; −8 ; −7 ; −6 ; −5.

Câu hỏi:

20/02/2023 165

Cho bất phương trình $m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$ . Tìm các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 9; 9]$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 1]$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bpt:

m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15

m (\sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x} - 2) \geq 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15

(1).
 Đặt

t = \sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x}

với

x \in [- 1; 1]

t^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} < 0 \forall x \in (- 1; 1)

.
Suy ra t nghịch biến trên

[- 1; 1]

.
Nên

t (1) \leq t \leq t (- 1)

<=>

- 3 \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}

 Ta có

t^{2} = 8 x + 10 - 6 \sqrt{1 - x^{2}}

<=>

2 t^{2} - 5 = 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15

.
Khi đó (1) trở thành:

m (t - 2) \geq 2 t^{2} - 5

với

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

<=>

m \leq \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}

(2)với

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vì

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

nên

(t - 2) < 0

(2) với (vì nên ).
 Xét hàm số

f (t) = \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}

trên đoạn

[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

f^{'} (t) = \frac{4 t (t - 2) - (2 t^{2} - 5)}{{(t - 2)}^{2}} = \frac{2 t^{2} - 8 t + 5}{{(t - 2)}^{2}}

f^{'} (t) = 0

<=>

[\begin{array}{l} t = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} (l o ạ i) \\ t = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \end{array}

f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97

;

f (\sqrt{2}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \approx 1, 7

;

f (\frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 8 - 2 \sqrt{6} \approx 3, 1

(1) nghiệm đúng với mọi

x \in [- 1; 1]

<=> (2) nghiệm đúng với mọi

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

<=>

m \leq \min_{[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]} f (t) = f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có:

\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 9; 9] \\ m \leq \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97 \end{cases}

<=>

m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}

.
Vậy

m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như sau. Hàm số $g (x) = f (x + 1)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 1)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; 2)$

D. $(1; + \infty)$

Lời giải

Chọn B
Từ đồ thị hàm số

y = f (x)

ta tịnh tiến sang trái đơn vị ta được đồ thị của hàm số

g (x) = f (x + 1)

như hình vẽ sau.
Media VietJack

Từ đồ thị, ta có hàm số

g (x) = f (x + 1)

nghịch biến trên

(- 2; 0)

Câu 2

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1}$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 0

Lời giải

Chọn B
Tập xác định

D = ℝ \ \{- 1; 1\}

Ta có

\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = 0

;

\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = 0

.
Nên đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang y=0.
Lại có

\lim_{x \to - 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = + \infty

;

\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = - \infty

\lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = + \infty

;

\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = - \infty

Nên đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng

x = - 1; x = 1

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng $f (- 1) = \frac{10}{3}$ , $f (2) = 6$ . Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f^{3} (x) - 3 f (x)$ trên đoạn $[- 1; 2]$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 2; 1]$ .

A. $m = - 5; M = - 1$

B. $m = - 1; M = 0$

C. $m = - 2; M = 2$

D. $m = - 5; M = 0$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ , đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số $y = f (x)$ ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 0)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(1; 2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; + \infty)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Bảng biến thiên sau là của hàm số nào trong 4 hàm số dưới đây?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1} \cdot$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot$

C. $y = \frac{x + 1}{2 x - 1} \cdot$

D. $y = \frac{2 x + 3}{x + 1} \cdot$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (2)$

B. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (3)$

C. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (1)$

D. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (5)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho bất phương trình m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15. Tìm các giá trị nguyên của tham số m∈−9 ; 9 để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈−1 ; 1.

Cho hàm số y=fx có đồ thị như sau. Hàm số g(x)=fx+1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y=2x−1x2−1 là

Cho hàm số y=fx có đạo hàm f'x. Hàm số y=f'x liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:Biết rằng f−1=103, f2=6. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số gx=f3x−3fx trên đoạn −1 ;2.

Cho hàm số y=fx xác định và liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y=fx trên đoạn −2 ; 1.

Cho hàm số y=fx liên tục và có đạo hàm trên ℝ, đồ thị hàm số y=f'x như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y=fx?

Bảng biến thiên sau là của hàm số nào trong 4 hàm số dưới đây?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho bất phương trình $m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$ . Tìm các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 9; 9]$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 1]$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như sau. Hàm số $g (x) = f (x + 1)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1}$ là

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 2; 1]$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ , đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số $y = f (x)$ ?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?