Cho bất phương trình m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15. Tìm các giá trị nguyên của tham số m∈−9 ; 9 để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈−1 ; 1.

Bpt: m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15m1−x−31+x−2≥28x−61−x2+15 (1). Đặt t=1−x−31+x với x∈−1 ; 1.t'=−121−x−321+x<0 ∀x∈−1 ; 1.Suy ra t nghịch biến trên −1 ; 1.Nên t1≤t≤t−1 <=> −32≤t≤2 Ta có t2=8x+10−61−x2 <=> 2t2−5=28x−61−x2+15.Khi đó (1) trở thành: mt−2≥2t2−5 với t∈−32 ; 2. <=> m≤2t2−5t−2(2)với t∈−32 ; 2vì t∈−32 ; 2nên t−2<0(2) với (vì nên ). Xét hàm số ft=2t2−5t−2 trên đoạn −32 ; 2.f't=4tt−2−2t2−5t−22=2t2−8t+5t−22.f't=0 <=> t=4+62(loại)t=4−62 f(−32)=62−93214≈−4,97;f(2)=2+22≈1,7;f4−62=8−26≈3,1(1) nghiệm đúng với mọi x∈−1 ; 1 <=> (2) nghiệm đúng với mọi t∈−32 ; 2 <=> m≤min−32 ;2ft=f−32=62−93214≈−4,97Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: m∈ℤm∈−9 ; 9m≤62−93214≈−4,97 <=> m∈−9 ; −8 ; −7 ; −6 ; −5.Vậy m∈−9 ; −8 ; −7 ; −6 ; −5.

Câu hỏi:

19/08/2025 183

Cho bất phương trình $m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$ . Tìm các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 9; 9]$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 1]$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bpt:

m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15

m (\sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x} - 2) \geq 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15

(1).
 Đặt

t = \sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x}

với

x \in [- 1; 1]

t^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} < 0 \forall x \in (- 1; 1)

.
Suy ra t nghịch biến trên

[- 1; 1]

.
Nên

t (1) \leq t \leq t (- 1)

<=>

- 3 \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}

 Ta có

t^{2} = 8 x + 10 - 6 \sqrt{1 - x^{2}}

<=>

2 t^{2} - 5 = 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15

.
Khi đó (1) trở thành:

m (t - 2) \geq 2 t^{2} - 5

với

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

<=>

m \leq \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}

(2)với

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vì

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

nên

(t - 2) < 0

(2) với (vì nên ).
 Xét hàm số

f (t) = \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}

trên đoạn

[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

f^{'} (t) = \frac{4 t (t - 2) - (2 t^{2} - 5)}{{(t - 2)}^{2}} = \frac{2 t^{2} - 8 t + 5}{{(t - 2)}^{2}}

f^{'} (t) = 0

<=>

[\begin{array}{l} t = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} (l o ạ i) \\ t = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \end{array}

f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97

;

f (\sqrt{2}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \approx 1, 7

;

f (\frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 8 - 2 \sqrt{6} \approx 3, 1

(1) nghiệm đúng với mọi

x \in [- 1; 1]

<=> (2) nghiệm đúng với mọi

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

<=>

m \leq \min_{[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]} f (t) = f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có:

\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 9; 9] \\ m \leq \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97 \end{cases}

<=>

m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}

.
Vậy

m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như sau. Hàm số $g (x) = f (x + 1)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 1)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; 2)$

D. $(1; + \infty)$

Lời giải

Chọn B
Từ đồ thị hàm số

y = f (x)

ta tịnh tiến sang trái đơn vị ta được đồ thị của hàm số

g (x) = f (x + 1)

như hình vẽ sau.
Media VietJack

Từ đồ thị, ta có hàm số

g (x) = f (x + 1)

nghịch biến trên

(- 2; 0)

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng $f (- 1) = \frac{10}{3}$ , $f (2) = 6$ . Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f^{3} (x) - 3 f (x)$ trên đoạn $[- 1; 2]$ .

Xem đáp án

Lời giải

Xét hàm số

g (x) = f^{3} (x) - 3 f (x)

trên đoạn

[- 1; 2]

g^{'} (x) = 3 [f^{2} (x) - 1] \cdot f^{'} (x)

g^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (x) = 0 (1) \\ f^{2} (x) = 1 (2) \end{array}

.
Từ bảng biến thiên, ta có:

(1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \in [- 1; 2] \\ x = 2 \in [- 1; 2] \end{array}

Và

f^{'} (x) \geq 0

\forall x \in [- 1; 2]

nên

f (x)

đồng biến trên

[- 1; 2]

\Rightarrow f (x) \geq f (- 1) = \frac{10}{3}

\Rightarrow f (x) > 1 \Rightarrow f^{2} (x) > 1

, nên

(2)

vô nghiệm.
Do đó,

g^{'} (x) = 0

chỉ có 2 nghiệm là

x = - 1

và

x = 2

.
Ta có

g (- 1) = f^{3} (- 1) - 3 f (- 1)

= {(\frac{10}{3})}^{3} - 3 (\frac{10}{3}) = \frac{730}{27}

.
Vậy

\min_{[- 1; 2]} g (x) = g (- 1) = \frac{730}{27}

Câu 3

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1}$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 2; 1]$ .

A. $m = - 5; M = - 1$

B. $m = - 1; M = 0$

C. $m = - 2; M = 2$

D. $m = - 5; M = 0$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ , đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số $y = f (x)$ ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 0)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(1; 2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; + \infty)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Bảng biến thiên sau là của hàm số nào trong 4 hàm số dưới đây?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1} \cdot$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot$

C. $y = \frac{x + 1}{2 x - 1} \cdot$

D. $y = \frac{2 x + 3}{x + 1} \cdot$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (2)$

B. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (3)$

C. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (1)$

D. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (5)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử