Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2). Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C là một đường thẳng d. Phương trình tham số của đường thẳng là

Chọn A
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;-1\right)$; $\overrightarrow{BC}=\left(3;-5;2\right)$.
Ta thấy $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
M cách đều hai điểm A, B nên điểm M nằm trên mặt trung trực của AB.
M cách đều hai điểm B, C nên điểm M nằm trên mặt trung trực của BC.
Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến của hai mặt trung trực của AB và BC.
Gọi (P), (Q) lần lượt là các mặt phẳng trung trực của AB và BC.
$K\left(0;\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ là trung điểm AB; $N\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};1\right)$ là trung điểm BC.
(P) đi qua K và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;-1\right)$ làm $\left(P\right):-2x+\left(y-\frac{3}{2}\right)-\left(z-\frac{1}{2}\right)=0$ véctơ pháp tuyến nên hay $\left(P\right):2x-y+z+1=0$.
(Q) đi qua N và nhận $\overrightarrow{BC}=\left(3;-5;2\right)$ làm $\left(Q\right):3\left(x-\frac{1}{2}\right)-5\left(y+\frac{1}{2}\right)+2\left(z-1\right)=0$ véctơ pháp tuyến nên hay $\left(Q\right):3x-5y+2z-6=0$.
Ta có $d:\left\{\begin{array}{l}2x-y+z+1=0\\ 3x-5y+2z-6=0\end{array}\right.$
Nên d có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right]=\left(-3;1;7\right)$.
Cho y = 0 ta sẽ tìm được $x=-8$, $z=15$ nên $\left(-8;0;15\right)\in d$.
Vậy đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=-8-3t\\ y=t\\ z=15+7t\end{array}\right.$