Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2, thỏa mãn f0=3 và fx.f'x=cosx.1+f2x, ∀x∈0;π2. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn π6;π2. A. m=212, M=22. B. m=52,...

Chọn ATừ giả thiết fx.f'x=cosx.1+f2x ⇒∫fx.f'x1+f2xdx=sinx+CĐặt t=1+f2x⇒t2=1+f2x⇒tdt=fxf'xdx.Thay vào ta được ∫dt=sinx+C⇒t=sinx+C⇒1+f2x=sinx+C.Do f0=3⇒C=2.Vậy 1+f2x=sinx+2⇒f2x=sin2x+4sinx+3⇒fx=sin2x+4sinx+3, vì hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2.Ta có π6≤x≤π2⇒12≤sinx≤1, xét hàm số gt=t2+4t+3 có hoành độ đỉnh t=−2 loại.Suy ra max12;1gt=g1=8, min12;1gt=g12=214.Suy ra maxπ6;π2fx=fπ2=22, minπ6;π2fx=gπ6=212.

Câu hỏi:

20/02/2023 570

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ , thỏa mãn $f (0) = \sqrt{3}$ và $f (x) . f^{'} (x) = \cos x . \sqrt{1 + f^{2} (x)}$ , $\forall x \in [0; \frac{π}{2}]$ . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]$ .

m = \frac{\sqrt{21}}{2}

M = 2 \sqrt{2}

m = \frac{5}{2}

M = 3

m = \frac{\sqrt{5}}{2}

M = \sqrt{3}

m = \sqrt{3}

M = 2 \sqrt{2}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A
Từ giả thiết

f (x) . f^{'} (x) = \cos x . \sqrt{1 + f^{2} (x)}

\Rightarrow \int \frac{f (x) . f^{'} (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} d x = \sin x + C

Đặt

t = \sqrt{1 + f^{2} (x)} \Rightarrow t^{2} = 1 + f^{2} (x) \Rightarrow t d t = f (x) f^{'} (x) d x

.
Thay vào ta được

\int d t = \sin x + C \Rightarrow t = \sin x + C \Rightarrow \sqrt{1 + f^{2} (x)} = \sin x + C

.
Do

f (0) = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2

.
Vậy

\sqrt{1 + f^{2} (x)} = \sin x + 2 \Rightarrow f^{2} (x) = \sin^{2} x + 4 \sin x + 3

\Rightarrow f (x) = \sqrt{\sin^{2} x + 4 \sin x + 3}

, vì hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn

[0; \frac{π}{2}]

.
Ta có

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1

, xét hàm số

g (t) = t^{2} + 4 t + 3

có hoành độ đỉnh

t = - 2

loại.
Suy ra

\underset{[\frac{1}{2}; 1]}{m a x} g (t) = g (1) = 8

\min_{[\frac{1}{2}; 1]} g (t) = g (\frac{1}{2}) = \frac{21}{4}

.
Suy ra

\underset{[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]}{m a x} f (x) = f (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{2}

\min_{[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]} f (x) = g (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{21}}{2}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{O M} = (1; 5; 2)$ , $\vec{O N} = (3; 7; - 4)$ . Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

P (2; 6; - 1)

P (5; 9; - 10)

P (7; 9; - 10)

P (5; 9; - 3)

Lời giải

Chọn B
Ta có:

\vec{O M} = (1; 5; 2) \Rightarrow M (1; 5; 2), \vec{O N} = (3; 7; - 4) \Rightarrow N (3; 7; - 4)

, .
Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được

\{\begin{cases} x_{P} = 2 x_{N} - x_{M} = 5 \\ y_{P} = 2 y_{N} - y_{M} = 9 \\ z_{P} = 2 z_{N} - z_{M} = - 10 \end{cases} \Rightarrow P (5; 9; - 10)

Câu 2

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(3;-1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - 3z - 5 = 0 có phương trình là

d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 3}{2}

d : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 3}

d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

d : \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{2}

Lời giải

Chọn C
Đường thẳng d đi qua điểm

A (3; - 1; 2)

nhận vectơ pháp tuyến

\vec{n_{P}} = (1; 1; - 3)

là vectơ chỉ phương nên có phương trình là

\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M(2;-3;5), N(4;7;-9), E(3;2;1), F(1;-8;12). Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. M, N, F.

B. M, E, F.

C. N, E, F.

D. M, N, E.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0), B(-1;1;3), C(0;-2;5). Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

D (- 2; 5; 0)

D (1; 2; 3)

D (1; - 1; 6)

D (0; 0; 2)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có đường kính AB với $A (1; 3; 1), B (- 2; 0; 1)$ .

{(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{9}{2}

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{9}{2}

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z + 1)}^{2} = \frac{9}{2}

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + (z - 1) = \frac{9}{2}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0$ và hai điểm $A (1; 0; - 2), B (- 1; - 1; 3)$ . Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với (P) có phương trình dạng $a x - b y + c z + 5 = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

a + b + c = 21

a + b + c = 7

a + b + c = - 21

a + b + c = - 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là

\frac{9}{7 \sqrt{2}}

\frac{9}{7}

\frac{9}{\sqrt{2}}

\frac{9}{14}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2, thỏa mãn f0=3 và fx.f'x=cosx.1+f2x, ∀x∈0;π2. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn π6;π2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM→=1;5;2, ON→=3;7;−4. Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(3;-1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - 3z - 5 = 0 có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M(2;-3;5), N(4;7;-9), E(3;2;1), F(1;-8;12). Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0), B(-1;1;3), C(0;-2;5). Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có đường kính AB với A1;3;1, B−2;0;1.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x − y + 2z + 1 = 0 và hai điểm A1 ; 0 ; −2,B−1 ; −1 ;3. Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với (P) có phương trình dạng ax − by + cz + 5 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{O M} = (1; 5; 2)$ , $\vec{O N} = (3; 7; - 4)$ . Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có đường kính AB với $A (1; 3; 1), B (- 2; 0; 1)$ .

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0$ và hai điểm $A (1; 0; - 2), B (- 1; - 1; 3)$ . Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với (P) có phương trình dạng $a x - b y + c z + 5 = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?