Câu hỏi:
21/02/2023 1,217Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C
Phương pháp :
+) Xác định góc giữa SB và mặt đáy. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.
+) Dựng mặt phẳng (SBK) chứa SB và song song với AC, khi đó
\(d\left[ {AC;SB} \right] = d\left[ {AC;\left( {SBK} \right)} \right] = \left[ {A;\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)
+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AH.
Cách giải:
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \) AB là hình chiếu vuông góc của SB lên \(\left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB;AB} \right) = SBA = {60^0}\)
\( \Rightarrow SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)
Dựng d qua B và d // AC
Dựng \(AK \bot d\) tại K
Dựng \(AH \bot SK\) tại H
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BK \bot AH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AH\\SK \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBK} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBK} \right)} \right) = AH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BK//AC\\BK \subset \left( {SBK} \right)\\AC \not\subset \left( {SBK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC//\left( {SBK} \right) \Rightarrow d\left[ {AC;SB} \right] = d\left[ {A;\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)
Gọi M là trung điểm AC \( \Rightarrow BM \bot AC & \left( 1 \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot AC & \left( 2 \right)\)
\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AK//BM \Rightarrow \) AKBM là hình bình hành \( \Rightarrow AK = BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác SAK vuông tại A ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Câu 3:
Cho đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây:
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2017} \right) + m} \right|\) có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập S bằng
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = 3a,\,\,BC = 4a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\). Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) - 2x\) là
về câu hỏi!