Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, (SA bot left( {ABC} right) ), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( left( {ABC} right) ) bằng ({60^0} ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và...

Đáp án C Phương pháp : +) Xác định góc giữa SB và mặt đáy. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó. +) Dựng mặt phẳng (SBK) chứa SB và song song với AC, khi đó (d left[ {AC;SB} right] = d left[ {AC; left( {SBK} right)} right] = left[ {A; left( {SBK} right)} right] = AH ) +) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AH. Cách giải: (SA bot left( {ABC} right) Rightarrow ) AB là hình chiếu vuông góc của SB lên ( left( {ABC} right) ) ( Rightarrow left( {SB; left( {ABC} right)} right) = left( {SB;AB} right) = SBA = {60^0} ) ( Rightarrow SA = AB. tan {60^0} = a sqrt 3 ) Dựng d qua B và d // AC Dựng (AK bot d ) tại K Dựng (AH bot SK ) tại H Ta có ( left { begin{array}{l}BK bot AK BK bot SA end{array} right. Rightarrow BK bot left( {SAK} right) Rightarrow BK bot AH ) ( left { begin{array}{l}BK bot AH SK bot AH end{array} right. Rightarrow AH bot left( {SBK} right) Rightarrow d left( {A; left( {SBK} right)} right) = AH ) ( left { begin{array}{l}BK//AC BK subset left( {SBK} right) AC not subset left( {SBK} right) end{array} right. Rightarrow AC// left( {SBK} right) Rightarrow d left[ {AC;SB} right] = d left[ {A; left( {SBK} right)} right] = AH ) Gọi M là trung điểm AC ( Rightarrow BM bot AC & left( 1 right) ) ( left { begin{array}{l}BK bot AK BK bot AC end{array} right. Rightarrow AK bot AC & left( 2 right) ) ( left( 1 right), left( 2 right) Rightarrow AK//BM Rightarrow ) AKBM là hình bình hành ( Rightarrow AK = BM = frac{{a sqrt 3 }}{2} ) Xét tam giác SAK vuông tại A ta có: ( frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{K^2}}} + frac{1}{{S{A^2}}} = frac{5}{{3{a^2}}} Rightarrow AH = frac{{a sqrt {15} }}{5} ) Vậy (d left( {AC;SB} right) = frac{{a sqrt {15} }}{5} )