Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo)

Thi Online Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án

Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) - Đề 31 có đáp án

2856 lượt thi
50 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho \(0 < a \ne 1\) và \(x > 0,\,\,y > 0\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. \({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y\)

B. \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)

C. \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y\)

D. \({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng các công thức logarit.

Cách giải:

Trong 4 mệnh đề trên chỉ có mệnh đề \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) đúng.

Câu 2:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \(\left[ { - 2017;2017} \right]\) để hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A. 2030

B. 2005

C. 2018

D. 2006

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Do hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) tương đương với hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

Cách giải:

Do hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) tương đương với hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x + m \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} + 12x,\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \left( { - 3{x^2} + 12x} \right)\)

Xét hàm số \(y = - 3{x^2} + 12x\) có hoành độ đỉnh là \({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = 2\)

Và \(y\left( 2 \right) = 12,\,\,y\left( 0 \right) = 0\). Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \left( { - 3{x^2} + 12x} \right) = y\left( 2 \right) = 12\)

Vậy giá trị m cần tìm là \(m \in \left\{ {12;13;14;...;2017} \right\}\). Suy ra có \(2017 - 12 + 1\) giá trị nguyên của tham số m cần tìm.

Câu 3:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có \(AB = AC = BB' = a,\,\,\,BAC = {120^0}\). Gọi I là trung điểm của CC’. Ta có cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'I} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\)

C. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{12}}\)

D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Xem đáp án

Đáp án B

Cách giải:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB' = a, BAC = 120 độ. Gọi I là trung điểm của CC' (ảnh 1)

Diện tích tam giác ABC:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)

Có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosBAC}\nolimits} } = A\sqrt 3 \)

Ta có: \(AB' = \sqrt {{a^2} + a} = a\sqrt 2 ,\,\,\,AI = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(B'I = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\)

Ta được \(AB{'^2} + A{I^2} = 2{a^2}{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} = B'{I^2}\).

Suy ra tam giác AB’I vuông tại A, có diện tích bằng:

\({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\)

Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I trên ABC ABI \(\left( {ABC} \right)\) nên ta có:

\({S_{ABC}} = \cos \,\alpha .{S_{AB'I}} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\)

Câu 4:

Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D, \({V_2}\) là thể tích khối tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. \({V_1} = 4{V_2}\)

B. \({V_1} = 6{V_2}\)

C. \({V_1} = 2{V_2}\)

D. \({V_1} = 8{V_2}\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp :

So sánh chiều cao và diện tích đáy của khối chóp so với hình lập phương.

Gọi V1 là thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D, V2 là thể tích khối tứ diện A'ABD (ảnh 1)

Cách giải:

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương. Thể tích khối lập phương: \({V_1} = {a^3}\)

Thể tích khối tứ diện ABDA’

\({V_2} = \frac{1}{3}.AA'.{S_{ABD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

Vậy \({V_1} = 6{V_2}\)

Câu 5:

Cho \(a{\log _2}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}3 = 5\) với a, b, c là các số tự nhiên. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau đây?

A. \(a = b\)

B. \(a > b > c\)

C. \(b < c\)

D. \(b = c\)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng các công thức \({\log _a}{x^n} = n{\log _a}x;\,\,\,{\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);\,\,\,{\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\frac{b}{c}\)

Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Cách giải:

\(a{\log _2}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}3 = 5\) \( \Leftrightarrow {\log _6}{2^b} + {\log _6}{3^c} = {\log _2}{2^5} - {\log _2}{3^a}\)

\( \Leftrightarrow {\log _6}{2^b}{3^c} = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}t = {\log _6}{2^b}{3^c}\\t = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^b}{3^c} = {6^t}\\\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}} = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^b}{3^c} = {6^t}\\{2^5} = {3^a}{2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\t = 5\\b = c = 5\end{array} \right.\) (vì a, b, c là các số tự nhiên).

Vậy \(b = c\)

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề