Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) - Đề 36 có đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) và đường thẳng \(y = m\)

Cách giải:

Ta có: \({x^3} - 3x - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x = m\,\,\left( 1 \right)\)

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) và đường thẳng \(y = m\)

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại 3 điểm phân biệt thì \( - 1 < m < 3\).

Vậy để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì \( - 1 < m < 3\)

Đáp án A

Phương pháp:

Xác định số điểm mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu.

Cách giải:

\(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Trong đó \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu tại điểm \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow \) Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.

Đáp án B

Phương pháp:

Xác định khoảng mà \(y' \ge 0\), (\(y' = 0\)tại hữu hạn điểm trên khoảng đó)

Cách giải:

\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 5 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)

Cách giải:

\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 5 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)

Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số bậc ba đạt cực đại tại điểm\(x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

Ta có: \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + m\)

\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx + 3{m^2} - 3\)

    \(y'' = 6x - 6\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 6m + 3{m^2} - 3 = 0\\6 - 6m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Đáp án D

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên R \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in R\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Cách giải:

\(y = {x^3} + 5{x^2} - 4mx - 3 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 10x - 4m\)

Hàm số đồng biến trên R \[ \Leftrightarrow y' \ge 0,\,\,\forall x \in \,R \Leftrightarrow 3{x^2} + 10x - 4m \ge 0,\,\,\forall x \in \,R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow 25 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le - \frac{{25}}{{12}}\)

Đáp án C

Phương pháp:

Nhận biết dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương.

Cách giải:

Đáp án B

Phương pháp:

Đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 điểm cực trị:

Khi đó để hàm số có thì \(a < 0\)

Cách giải:

Hàm số có thì \(a < 0 \Rightarrow \)Loại bỏ phương án C và D.

+) Xét \(y = - {x^3} - 3x - 2 \Rightarrow y' = - 3{x^2} - 3,\,\,y' = 0\): vô ngiệm \( \Rightarrow \) Hàm số không có cực trị \( \Rightarrow \)Loại bỏ phương án A.

+) \(y = - {x^3} + 9{x^2} + 3x + 2 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 18x + 3,\,\,\,y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án A

Phương pháp:

Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các điểm cực trị của hàm số, sau đó tính các giá trị cực trị.

Cách giải:

\(y = f\left( x \right) = - {x^3} + 3x - 2\)