Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = a \Rightarrow y = a\)là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) thì \(x = a\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 2 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 TCN là \(y = 2\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2} - 3x + 2}} = - \infty ,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2} - 3x + 2}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 4}}{{x - 1}}\,\,\, = 12,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2} - 3x + 2}}\, = 12\end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là \(x = 1\)

Vậy, đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận.