Câu hỏi:
23/02/2023 992Cho tứ diện ABCD, có \(AB = AC = AD = a,\,\,\,BAD = {90^0};\,\,DAC = {60^0};\,\,CAB = {120^0}\). Thể tích tứ diện ABCD là
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án B
Phương pháp:
+) Chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
+) Tính độ dài các cạnh BC, CD, DA, sử dụng định lí Pytago đảo chứng minh tam giác ABC vuông.
+)
Cách giải:
Tam giác ABD vuông cân tại A \( \Rightarrow BD = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \)
Tam giác ACD đều \( \Rightarrow CD = AD = a\)
Tam giác ABC: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos {{120}^0}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2.{a^2}.\frac{{ - 1}}{2}} = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} \Rightarrow \) Tam giác BCD vuông tại D
Gọi I là trung điểm của BC \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Mà tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD\)
\( \Rightarrow AI \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}}\)
Tam giác ABI vuông tại I \( \Rightarrow AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\)
Tam giác BCD vuông tại D \( \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}.BD.DC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Tam giác ABD vuông cân tại A \( \Rightarrow BD = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \)
Tam giác ACD đều \( \Rightarrow CD = AD = a\)
Tam giác ABD vuông cân tại A \( \Rightarrow BD = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \)
Tam giác ACD đều \( \Rightarrow CD = AD = a\)
Tam giác ABC: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos {{120}^0}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2.{a^2}.\frac{{ - 1}}{2}} = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} \Rightarrow \) Tam giác BCD vuông tại D
Gọi I là trung điểm của BC \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Mà tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD\)
\( \Rightarrow AI \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}}\)
Tam giác ABI vuông tại I \( \Rightarrow AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\)
Tam giác BCD vuông tại D \( \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}.BD.DC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Tam giác ABC: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos {{120}^0}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2.{a^2}.\frac{{ - 1}}{2}} = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} \Rightarrow \) Tam giác BCD vuông tại D
Gọi I là trung điểm của BC \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Mà tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD\)
\( \Rightarrow AI \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}}\)
Tam giác ABI vuông tại I \( \Rightarrow AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\)
Tam giác BCD vuông tại D \( \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}.BD.DC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) là:
Câu 2:
Đồ thị sau đây là của hàm số \[y = {x^3} - 3x + 1\]. Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^3} - 3x - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
Câu 3:
Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài đoạn \(AB' = 2a\). Thể tích của khối đó là
Câu 4:
Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 5{x^2} - 4mx - 3\) đồng biến trên R là
Câu 5:
Biết \(\log 2 = a\) thì \(\log \sqrt[4]{{\frac{{32}}{5}}}\) bằng
về câu hỏi!