Câu hỏi:
23/02/2023 1,180
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của AB là
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của AB là
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Phương pháp:
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
Xác định giao điểm của tiếp điểm với hai đường tiệm cận và tính độ dài AB. Sử dụng công thức tính độ dài: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \)
Sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của AB.
Cách giải:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có TCĐ là \(x = - 1\) và TCN là \(y = 2\)
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm \( \Rightarrow {y_0} = \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}}\)
\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
\(y = \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}}\)
Cho \(x = - 1 \Rightarrow y = \frac{{ - 1 - {x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}} = \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}} \Rightarrow A\left( { - 1;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}}} \right)\)
Cho \(y = 2 \Rightarrow 2 = \frac{{x - {x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow x - {x_0} + \left( {2{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right) = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow x - {x_0} + 2x_0^2 + 3{x_0} + 1 = 2x_0^2 + 4{x_0} + 2 \Leftrightarrow x = 2{x_0} + 1 \Rightarrow B\left( {2{x_0} + 1;2} \right)\)
Khi đó: \(AB = \sqrt {{{\left( {2{x_0} + 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}} - 2} \right)}^2}} = \sqrt {4{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {4{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}.\frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} = 8\)
\( \Rightarrow A{B_{\min }} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \) khi \(4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) là:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) là:
Xem đáp án »
23/02/2023
7,780
Câu 2:
Đồ thị sau đây là của hàm số \[y = {x^3} - 3x + 1\]. Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^3} - 3x - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
Đồ thị sau đây là của hàm số \[y = {x^3} - 3x + 1\]. Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^3} - 3x - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
Xem đáp án »
23/02/2023
3,617
Câu 3:
Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài đoạn \(AB' = 2a\). Thể tích của khối đó là
Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài đoạn \(AB' = 2a\). Thể tích của khối đó là
Xem đáp án »
23/02/2023
2,665
Câu 4:
Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 5{x^2} - 4mx - 3\) đồng biến trên R là
Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 5{x^2} - 4mx - 3\) đồng biến trên R là
Xem đáp án »
23/02/2023
2,136
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\). Khi đó số điểm cực trị của hàm số đã cho là bao nhiêu?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\). Khi đó số điểm cực trị của hàm số đã cho là bao nhiêu?
Xem đáp án »
23/02/2023
1,936
Câu 7:
Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là BC = 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm ngắn nhất tính từ đảo C vào bờ là AB = 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy từ khách sạn ra đảo (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, kinh phí đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một đoạn AD bao nhiêu để kinh phí đi từ A đến C nhỏ nhất? (AB vuông góc BC-hình dưới đây)
Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là BC = 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm ngắn nhất tính từ đảo C vào bờ là AB = 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy từ khách sạn ra đảo (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, kinh phí đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một đoạn AD bao nhiêu để kinh phí đi từ A đến C nhỏ nhất? (AB vuông góc BC-hình dưới đây)
Xem đáp án »
23/02/2023
1,878
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
về câu hỏi!