Câu hỏi:
23/02/2023 1,143
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của AB là
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của AB là
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Phương pháp:
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
Xác định giao điểm của tiếp điểm với hai đường tiệm cận và tính độ dài AB. Sử dụng công thức tính độ dài: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \)
Sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của AB.
Cách giải:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có TCĐ là \(x = - 1\) và TCN là \(y = 2\)
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm \( \Rightarrow {y_0} = \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}}\)
\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
\(y = \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}}\)
Cho \(x = - 1 \Rightarrow y = \frac{{ - 1 - {x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}} = \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}} \Rightarrow A\left( { - 1;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}}} \right)\)
Cho \(y = 2 \Rightarrow 2 = \frac{{x - {x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow x - {x_0} + \left( {2{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right) = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow x - {x_0} + 2x_0^2 + 3{x_0} + 1 = 2x_0^2 + 4{x_0} + 2 \Leftrightarrow x = 2{x_0} + 1 \Rightarrow B\left( {2{x_0} + 1;2} \right)\)
Khi đó: \(AB = \sqrt {{{\left( {2{x_0} + 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}} - 2} \right)}^2}} = \sqrt {4{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {4{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}.\frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} = 8\)
\( \Rightarrow A{B_{\min }} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \) khi \(4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) là:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) là:
Xem đáp án »
23/02/2023
7,474
Câu 2:
Đồ thị sau đây là của hàm số \[y = {x^3} - 3x + 1\]. Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^3} - 3x - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
Đồ thị sau đây là của hàm số \[y = {x^3} - 3x + 1\]. Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^3} - 3x - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
Xem đáp án »
23/02/2023
3,506
Câu 3:
Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài đoạn \(AB' = 2a\). Thể tích của khối đó là
Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài đoạn \(AB' = 2a\). Thể tích của khối đó là
Xem đáp án »
23/02/2023
2,620
Câu 4:
Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 5{x^2} - 4mx - 3\) đồng biến trên R là
Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 5{x^2} - 4mx - 3\) đồng biến trên R là
Xem đáp án »
23/02/2023
2,103
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\). Khi đó số điểm cực trị của hàm số đã cho là bao nhiêu?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\). Khi đó số điểm cực trị của hàm số đã cho là bao nhiêu?
Xem đáp án »
23/02/2023
1,817
Câu 7:
Cho tứ diện ABCD, có \(AB = AC = AD = a,\,\,\,BAD = {90^0};\,\,DAC = {60^0};\,\,CAB = {120^0}\). Thể tích tứ diện ABCD là
Cho tứ diện ABCD, có \(AB = AC = AD = a,\,\,\,BAD = {90^0};\,\,DAC = {60^0};\,\,CAB = {120^0}\). Thể tích tứ diện ABCD là
Xem đáp án »
23/02/2023
1,497
về câu hỏi!