Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại B. Biết \(SA = a,\,\,AB = b,\,\,BC = c\). Gọi B’, C’ tương ứng là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Gọi V, V’ tương ứng là thể tích của các khối chóp S.ABC, S.AB’C’. Khi đó ta có

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác (Công thức Simson):

Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc SA, SB, SC. Khi đó, \(\frac{{{V_{S.{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{S{A_1}}}{{SA}}.\frac{{S{B_1}}}{{SB}}.\frac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác (Công thức Simson):

Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc SA, SB, SC. Khi đó, \(\frac{{{V_{S.{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{S{A_1}}}{{SA}}.\frac{{S{B_1}}}{{SB}}.\frac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Cách giải:

Tam giác SAB vuông tại A, AB’ vuông góc SB

\( \Rightarrow SB'.SB = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

Tam giác ABC vuông tại B

\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Tam giác SAC vuông tại A, AC’ vuông góc SC

\( \Rightarrow SC'.SC = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

\(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{S_{S.ABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^4}}}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\)

Cách giải:

Tam giác SAB vuông tại A, AB’ vuông góc SB

\( \Rightarrow SB'.SB = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

Tam giác ABC vuông tại B

\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Tam giác SAC vuông tại A, AC’ vuông góc SC

\( \Rightarrow SC'.SC = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

\(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{S_{S.ABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^4}}}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\)