Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \left( {1 - m} \right){x^4} + 2\left( {m + 3} \right){x^2} + 1\) có đúng một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại?

TH1: \(1 - m = 0\), hàm số có dạng \(y = b{x^2} + c\) có 1 cực tiểu \( \Leftrightarrow b > 0\).

TH2: Hàm số có dạng \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\) có 1 cực tiểu và không có cực đại \( \Leftrightarrow a > 0\) và phương trình \(y' = 0\) có đúng 1 nghiệm.

Cách giải:

Tập xác định \(\mathbb{R}\).

Trường hợp 1: \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\), ta có \(y = 8{x^2} + 1\) có đồ thị là parabol, bề lõm quay lên trên nên hàm số chỉ có 1 cực tiểu và không có cực đại.

Trường hợp 2: \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\). Vì hàm số trùng phương nên để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại thì \(m < 1\) và phương trình \(y' = 0\) có đúng một nghiệm.

Vậy ta có \(4\left( {1 - m} \right){x^3} + 4\left( {m + 3} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){x^3} + \left( {m + 3} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {1 - m} \right){x^2} + m + 3 = 0\end{array} \right.\)

Do \(m < 1\) nên ta có \({x^2} = \frac{{m + 3}}{{m - 1}}\). Phương trình \({x^2} = \frac{{m + 3}}{{m - 1}}\) có một nghiệm \(x = 0\) hoặc vô nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{m + 3}}{{m - 1}} \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m < 1\) (thỏa điều kiện \(m < 1\))

Do đó không có nguyên dương thỏa mãn trong trường hợp này. m

Kết luận: Vậy \(m = 1\) thì hàm số \(y = \left( {1 - m} \right){x^4} + 2\left( {m + 3} \right){x^2} + 1\) có đúng một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.