Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a.
A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
C. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
D. \(R = \frac{a}{2}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Phương pháp:
+) Xác định trục của mặt đáy (đường thẳng đi qua tâm đáy và vuông góc với đáy).
+) Xác định đường trung trực của một mặt bên.
+) Xác định giao điểm của hai đường thẳng trên.
Cách giải:
Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của BC, CD, AD; G là trọng tâm tam giác BCD; O là giao điểm của AG và EI.
* Ta chứng minh: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:
Thật vậy:
Do tam giác BCD đều, G là trọng tâm \( \Rightarrow \) là tâm đường tròn ngoại tiếp G
Do tứ diện ABCD đều \( \Rightarrow AG \bot \left( {BCD} \right)\)
Điểm \(O \in AG \Rightarrow OB = OC = OD\,\,\left( 1 \right)\)
Do \(AE = DE \Rightarrow \Delta AED\) cân tại E \( \Rightarrow \) EI là trung trực của AD \( \Rightarrow OA = OD\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
* Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD:
\(\Delta BCD\) đều, cạnh bằng a \( \Rightarrow ED = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow EG = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\,\,\,GD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\Delta EID\) vuông tại I \( \Rightarrow EI = \sqrt {E{D^2} - I{D^2}} = \sqrt {\frac{3}{4}{a^2} - \frac{1}{4}{a^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}a\)
\(\Delta OEG\) đồng dạng \(\Delta DEI \Rightarrow \frac{{OG}}{{ID}} = \frac{{EG}}{{EI}} \Leftrightarrow \frac{{OG}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow OG = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\)
\(\Delta OGD\) vuông tại G \( \Rightarrow OD = \sqrt {O{G^2} + G{D^2}} = \sqrt {\frac{1}{6}{a^2} + \frac{1}{3}{a^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD là \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left[ { - 1;3} \right]\)
D. \(D = \left( { - 1;3} \right)\)
Lời giải
Đáp án A
Phương pháp:
\({\log _a}f\left( x \right)\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0\)
Cách giải:
ĐKXĐ: \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Vậy TXĐ: \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Câu 2
A. 2
B. 1
C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
D. \(\frac{4}{3}\)
Lời giải
Đáp án A
Phương pháp:
Thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Cách giải:
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h \Rightarrow 4\pi = \frac{1}{3}\pi {r^2}.3 \Rightarrow {r^2} = 4 \Rightarrow r = 2\)
Câu 3
A. \(I\left( { - 2;2} \right)\)
B. \(I\left( { - 2;1} \right)\)
C. \(I\left( {1;2} \right)\)
D. \(I\left( { - 2; - \frac{3}{2}} \right)\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(S = 135\)
B. \(S = 24\)
C. \(S = 32\)
D. \(S = 22\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(P = 3abc\)
B. \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{2}\)
C. \(P = 6abc\)
D. \(P = a + 2b + 3c\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(m = 4\)
B. \(m = 0\)
C. \(m = - 4\)
D. \(m = 2\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(y = - x + 1\)
B. \(y = 2x - 1\)
C. \(y = 2x + 2\)
D. \(y = - x - 1\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo