Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 3\) đạt cực tiểu tại \(x = 3\)

Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số bậc ba đạt cực tiểu tại \(x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_0}} \right) = 0\\y''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

\(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 3 \Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 4,\,\,\,y'' = 2x - 2m\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 3 \right) = 0\\y''\left( 3 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 6m + {m^2} - 4 = 0\\6 - 2m > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 5 = 0\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)