Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 1.

Đáp án D

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Nhận xét tam giác tạo thành bởi 3 điểm cực trị là tam giác cân, tính diện tích tam giác cân đó.

Cách giải:

\(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{{m - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(\frac{{m - 1}}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 1\). Khi đó, giả sử tọa độ ba điểm cực trị là \(A\left( {0;m} \right),\,\,\,B\left( { - \sqrt {\frac{{m - 1}}{2}} ; - \frac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right),\,\,\,C\left( {\sqrt {\frac{{m - 1}}{2}} ; - \frac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\)

Dễ dàng chứng minh tam giác ABC cân tại A, gọi \(H\left( {0; - \frac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\) là trung điểm của BC, khi đó: