Bạn Minh muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[90{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\]. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật \[MNPQ\] từ mảnh tôn nguyên liệu (với \[M\], \[N\] thuộc cạnh \[BC\]; \[P\], \[Q\] tương ứng thuộc cạnh \[AC\] và \[AB\]) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng \[MQ\]. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn Minh có thể làm được là

A. \(\frac{{91125}}{{4\pi }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

B. \(\frac{{91125}}{{2\pi }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

C. \[\frac{{13500.\sqrt 3 }}{\pi }\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]

D. \(\frac{{108000\sqrt 3 }}{\pi }\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Chọn C

Media VietJack

Gọi \[I\] là trung điểm \[BC\]. Suy ra \[I\] là trung điểm \[MN\]. Đặt \[MN = x\], \[\left( {0 < x < 90} \right)\].

Ta có: \(\frac{{MQ}}{{AI}} = \frac{{BM}}{{BI}}\)\( \Leftrightarrow MQ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {90 - x} \right)\); gọi \(R\) là bán kính của trụ \( \Rightarrow R = \frac{x}{{2\pi }}\).

Thể tích của khối trụ là: \({V_T} = \pi {\left( {\frac{x}{{2\pi }}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {90 - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { - {x^3} + 90{x^2}} \right)\)

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { - {x^3} + 90{x^2}} \right)\) với \(0 < x < 90\), \(f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { - 3{x^2} + 180x} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 60}\end{array}} \right.\).

Media VietJack

Khi đó suy ra \[\mathop {\max }\limits_{x \in (0;90)} f\left( x \right) = f\left( {60} \right) = \frac{{13500.\sqrt 3 }}{\pi }\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\)có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(ac > 0;bd > 0\).

B. \(bd < 0,ad > 0\).

C. \(bc > 0,ad < 0\).

D. \(ab < 0,cd < 0\).

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng nằm bên phải \(Oy\)và đường tiệm cận ngang nằm bên trên \(Ox\)nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{d}{c} > 0\\\frac{a}{c} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}cd < 0{\rm{ }}(1)\\ac > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ad < 0\).

Đồ thị hàm số cắt \(Ox\)tại \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\), cắt \(Oy\)tại \(\left( {0;\frac{b}{d}} \right)\), từ đồ thị hàm số ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} < 0\\\frac{b}{d} < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab > 0\\bd < 0{\rm{ }}(2)\end{array} \right.\).

Từ (1) và (2) ta có: \(bc > 0\).

Vậy ta có \(bc > 0,ad < 0\).

Câu 2