Câu hỏi:

12/07/2024 27,461

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.

c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: \(OI \bot AC\) nên \(\widehat {OIC} = 90^\circ \)

               \(CH \bot AB\) nên \(\widehat {OHC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác CHOI có \[\widehat {OIC} + \widehat {OHC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \], mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác

Do đó tứ giác CHOI nội tiếp.

Suy ra bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên Ax AB, do đó \(\widehat {xAB} = 90^\circ \)

Xét tam giác AOM vuông tại A có đường cao AI, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OA2 = OI.OM

Mà OA = R (bán kính đường tròn) nên OI.OM = R2.

Theo bài, R = 6 cm và OM = 2R

Do đó \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OM}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2} = 3\left( {cm} \right)\).

c) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O), đường kính AB nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó AC BC tại C.

Lại có OI AC tại I

Suy ra OI // BC nên \(\widehat {AOM} = \widehat {ABC}\)

Hay \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Xét DAMO và DHCB có:

\(\widehat {MAO} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Suy ra .

Gọi N là giao điểm của BC và Ax.

Xét DABN có OM // BN và O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của AN.

Do CH // AN, theo hệ quả định lí Talet ta có: \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\)

Do đó \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\), mà AM = MN (do M là trung điểm của AN)

Suy ra HK = KC.

Bình luận


Bình luận

Trang Kieu
17:17 - 25/03/2025

Giúp

Ảnh đính kèm

Trường mầm non Liên Cơ Bùi Thị Tâm
21:42 - 22/10/2024

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh = AB^2/4. Tính
c) MC là tiếp tuyền đường trong (O)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

• Để (d1): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d2): y = (m – 1)x + m cắt nhau thì 2m + 1 ≠ m – 1

Û m ≠ ‒2.

• Để (d1) cắt trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 Û \(m \ne - \frac{1}{2}\).

Gọi A(xA; 0) là giao điểm của (d1) với trục hoành.

Khi đó 0 = (2m + 1)xA – 2m – 3

Þ \({x_A} = \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}}\). Suy ra \(A\left( {\frac{{2m + 3}}{{2m + 1}};0} \right)\).

• Để (d2) cắt trục hoành thì m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1.

Gọi B(xB; 0) là giao điểm của (d2) với trục hoành.

Khi đó 0 = (m – 1)xB + m

Þ \({x_B} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\). Suy ra \(B\left( {\frac{{ - m}}{{m - 1}};0} \right)\).

Để (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

\( \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\)

Þ (2m + 3).(m – 1) = (2m + 1).(‒m)

Û 2m2 + m – 3 = –2m2 – m

Û 4m2 + 2m – 3 = 0

Û \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 2

Cho hàm số y = 2x2 – 3x – 5 (1). Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) thỏa mãn \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 3{x_1}{x_2} + 7\).

Lời giải

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = 4x + m là:

2x2 – 3x – 5 = 4x + m

Û 2x2 – 7x – 5 – m = 0 (*)

Để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Û D > 0

Û (7)2 – 4.2.(– 5 – m) > 0

Û 49 + 40 + 8m > 0

\( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 89}}{8}\).

Khi đó, theo hệ thức Viet ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{7}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - m - 5}}{2}}\end{array}} \right.\)

Theo bài, \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 3{x_1}{x_2} + 7\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 3{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 3{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 7{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 2 \cdot {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} - 7.\frac{{ - m - 5}}{2} = 7\)

\( \Leftrightarrow \frac{{49}}{2} + \frac{{7\left( {m + 5} \right)}}{2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 49 + 7m + 35 = 14\)

\( \Leftrightarrow 7m = - 70\)

\( \Leftrightarrow m = - 10\) (thỏa mãn)

Vậy m = 10.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay