Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.

b) Gọi M là điểm nằm ở giữa B và C. Kẻ MN vuông với AB, MP vuông góc với AC (N thuộc AB, P thuộc AC ) tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao?

c) Tính số đo góc NHP?

d) Tìm vị trí M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất?

Lời giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC bằng: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC\)

AH vuông góc với BC nên diện tích tam giác ABC được tính bằng: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC\)

Do đó \(\frac{1}{2}AH.BC = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC\)

Suy ra AH.BC = AB.AC.

b) MN vuông góc với AB, MP vuông góc với AC nên \(\widehat {MNA} = \widehat {MPA} = 90^\circ \)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {NAP} = 90^\circ \)

Tứ giác ANMP có \(\widehat {MNA} = \widehat {MPA} = \widehat {NAP} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

c) Gọi I là giao điểm của NP và AM

ANMP là hình chữ nhật nên I là trung điểm NP, AM và AM = NP.

Tam giác AHM vuông tại H có trung tuyến HI nên \(HI = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}NP\)

Tam giác NHP có trung tuyến HI thỏa mãn \(HI = \frac{1}{2}NP\) nên tam giác NHP vuông tại H.

Do đó \(\widehat {NHP} = 90^\circ \)

d) NP nhỏ nhất mà NP = AM nên AM nhỏ nhất

Ta có: AH là đường cao từ A tới BC nên AM ≥ AH.

Do đó AM nhỏ nhất khi M trùng H.