Cho phương trình x² – (m – 1)x – m = 0, trong đó m là tham số, x là ẩn số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 1.

Lời giải

Xét phương trình x² – (m – 1)x – m = 0

Có D = [–(m – 1)]² – 4.1.(–m) = m² – 2m + 1 + 4m = m² + 2m + 1 = (m + 1)².

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D > 0

Û (m + 1)² > 0

Û m + 1 ≠ 0

Û m ≠ –1     (1)

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\)

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 1 thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} < 1\\{x_2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 1 < 0\\{x_2} - 1 < 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} - 2 < 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 - 2 < 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\ - m - \left( {m - 1} \right) + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\ - 2m > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 1\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có: m < 1; m ≠ –1.

Vậy m < 1 và m ≠ –1.