Cho hàm số y = 2x² – 3x – 5 (1). Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) thỏa mãn \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 3{x_1}{x_2} + 7\).

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = 4x + m là:

2x² – 3x – 5 = 4x + m

Û 2x² – 7x – 5 – m = 0 (*)

Để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Û D > 0

Û (–7)² – 4.2.(– 5 – m) > 0

Û 49 + 40 + 8m > 0

\( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 89}}{8}\).

Khi đó, theo hệ thức Viet ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{7}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - m - 5}}{2}}\end{array}} \right.\)

Theo bài, \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 3{x_1}{x_2} + 7\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 3{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 3{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 7{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 2 \cdot {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} - 7.\frac{{ - m - 5}}{2} = 7\)

\( \Leftrightarrow \frac{{49}}{2} + \frac{{7\left( {m + 5} \right)}}{2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 49 + 7m + 35 = 14\)

\( \Leftrightarrow 7m = - 70\)

\( \Leftrightarrow m = - 10\) (thỏa mãn)

Vậy m = –10.