Mặt cắt của một li giấy đựng bỏng ngô có dạng hình thang cân MNPQ (Hình 13) với hai đáy MN = 6 cm, PQ = 10 cm và độ dài hai đường chéo MP = NQ = $8\sqrt{2}$ cm. Tính độ dài đường cao và cạnh bên của hình thang.

• MNPQ là hình thang cân nên MN // QP; MQ = NP; $\widehat{MQP}=\widehat{NPQ}$ (tính chất hình thang cân).

• Ta có: MN // QP (chứng minh trên) và NK ⊥ QP (giả thiết)

Suy ra NK ⊥ MN hay $\widehat{MNK}=90°$.

Xét DMHK và DKNM có:

$\widehat{MHK}=\widehat{KNM}=90°$;

MK là cạnh huyền chung;

$\widehat{MKH}=\widehat{KMN}$ (hai góc so le trong của QP // MN).

Do đó DMHK = DKNM (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HK = NM = 6 cm (hai cạnh tương ứng).

• Xét DMHQ và DNKP có:

$\widehat{MHQ}=\widehat{NKP}=90°$;

MQ = NP (chứng minh trên);

$\widehat{MQH}=\widehat{NPK}$ (chứng minh trên).

Do đó DMHQ = DNKP (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra QH = PK (hai cạnh tương ứng).

Mà QH + HK + PK = QP

Hay 2QH = QP – HK

Khi đó QH = PK = $\frac{QP-HK}{2}=\frac{10-6}{2}=2\left(cm\right)$ 

Nên HP = HK + KP = 6 + 2 = 8 (cm).

• Áp dụng định lí Pythagore vào DMHP vuông tại H, ta có:

MP² = MH² + HP²

Suy ra MH² = MP² – HP² = ${\left(8\sqrt{2}\right)}^2-8^2=128-64=64=8^2$

Do đó MH = 8 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào DMHQ vuông tại H, ta có:

MQ² = MH² + HQ² = 8² + 2² = 64 + 4 = 68

Suy ra $MQ=2\sqrt{17}$ (cm).

Vậy hình thang cân MNPQ có độ dài đường cao là MH = NK = 8 cm; độ dài cạnh bên là MQ = NP = $2\sqrt{17}$ cm.