Từ một điểm M ở ngoài đường tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm H (H khác A, B). Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với OH cắt đường thẳng MA ở E, cắt đường thẳng MB ở F.

a) Chứng minh tứ giác có bốn đỉnh O, H, A, E là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác OEF cân.

c) Kẻ OI vuông góc AB ( I thuộc AB). Chứng minh OI.OF = OB.OH

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M). Gọi H là giao điểm của AK và MN.

a) Chứng minh tứ giác BCHK  nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh AK.AH = R².

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \). Hỏi trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?

1) \[\overrightarrow {OG} = \vec 0\].

2) Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

3) Tam giác ABC là tam giác đều.

4) Tam giác ABC là tam giác cân.

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và kẻ HF vuông góc với AC.

a) CM: AE.AB = AF.AC;

b) Cho biết AB = 4 cm, AH = 3 cm. Tính AE và BE;

c) Cho biết \[\widehat {HAC} = 30^\circ \]. Tính FC.

Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm x₁; x₂ mọi m.

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn:

x₁(1 + x₂) + x₂(1 + x₁) = 7.

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

Cho phương trình: x² – 2x + m = 0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình không thể có hai nghiệm cùng là số âm.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao tuyến mp(SGM) với mp(ABCD). Tìm giao điểm I của GM và mp(ABCD).