Cho hàm số: (y = frac{m}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + 1 )để hàm số đạt cực đại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1 thì giá trị của m bằng?

Ta có: y' = mx2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2) (m ≠ 0) Để hàm số có cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2 thì phương tình y' = mx2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ( Rightarrow Delta ' ) = (m – 1)2 – 3m(m – 2) = −2m2 + 4m + 1 > 0 ( Rightarrow 1 - frac{{ sqrt 6 }}{2} < m < 1 + frac{{ sqrt 6 }}{2} ) (1) Khi đó áp dụng định lý Vi−ét, ta có: ( left { begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = frac{{2(m - 1)}}{m} , ,(2) {x_1}{x_2} = frac{{3(m - 2)}}{m} , ,(3) end{array} right. ) Mặt khác theo bài cho ta có: x1 + 2x2 = 1 (4) Nếu 2x1 + x2 = 0 (5) Từ (4) và (5) ( Rightarrow {x_1} = - frac{1}{3};{x_2} = frac{2}{3} ). Thay vào (2) ta có: (2 frac{{m - 1}}{m} = frac{1}{3} Rightarrow m = frac{6}{5} ) Thay vào (3) ta có: (3 frac{{m - 2}}{m} = - frac{2}{9} Rightarrow m = frac{{54}}{9} ) Suy ra 2x1 + x2 ≠ 0 Khi đó nhân hai vế của (4) với 2x1 + x2 ta có: (x1 + 2x2)(2x1 + x2) = 2x1 + x2 ( Leftrightarrow ) 2(x1 + x2)2 + x1x2 = 2x1 + x2 Thay (2) và (3) vào ta được: (8 frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3 frac{{m - 2}}{m} = 2{x_1} + {x_2} ) ( Leftrightarrow 8 frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3 frac{{m - 2}}{m} + 1 = 2{x_1} + {x_2} + {x_1} + 2{x_2} ) ( Leftrightarrow 8 frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3 frac{{m - 2}}{m} + 1 = 3({x_1} + {x_2}) ) ( Leftrightarrow 8 frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3 frac{{m - 2}}{m} + 1 = 6 frac{{m - 1}}{m} ) ( Leftrightarrow 8{(m - 1)^2} + 3m(m - 2) + {m^2} = 6m(m - 1) ) ( Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 = 0 ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = frac{2}{3} m = 2 end{array} right. ) (TMĐK) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: (m = frac{2}{3} ); m = 2.

Câu hỏi:

13/07/2024 971

Cho hàm số: \(y = \frac{m}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + 1\)để hàm số đạt cực đại x₁, x₂ thỏa mãn x₁ + 2x₂ = 1 thì giá trị của m bằng?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: y' = mx² – 2(m – 1)x + 3(m – 2) (m ≠ 0)

Để hàm số có cực đại tại x₁ và cực tiểu tại x₂ thì phương tình

y' = mx² – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta '\) = (m – 1)² – 3m(m – 2) = −2m² + 4m + 1 > 0

\( \Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2} < m < 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (1)

Khi đó áp dụng định lý Vi−ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m - 1)}}{m}\,\,(2)\\{x_1}{x_2} = \frac{{3(m - 2)}}{m}\,\,(3)\end{array} \right.\)

Mặt khác theo bài cho ta có: x₁ + 2x₂ = 1 (4)

Nếu 2x₁ + x₂ = 0 (5)

Từ (4) và (5) \( \Rightarrow {x_1} = - \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{3}\).

Thay vào (2) ta có: \(2\frac{{m - 1}}{m} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = \frac{6}{5}\)

Thay vào (3) ta có: \(3\frac{{m - 2}}{m} = - \frac{2}{9} \Rightarrow m = \frac{{54}}{9}\)

Suy ra 2x₁ + x₂ ≠ 0

Khi đó nhân hai vế của (4) với 2x₁ + x₂ ta có:

(x₁ + 2x₂)(2x₁ + x₂) = 2x₁ + x₂

\( \Leftrightarrow \) 2(x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 2x₁ + x₂

Thay (2) và (3) vào ta được:

\(8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} = 2{x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 2{x_1} + {x_2} + {x_1} + 2{x_2}\)

\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 3({x_1} + {x_2})\)

\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 6\frac{{m - 1}}{m}\)

\( \Leftrightarrow 8{(m - 1)^2} + 3m(m - 2) + {m^2} = 6m(m - 1)\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 2\end{array} \right.\) (TMĐK)

Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(m = \frac{2}{3}\); m = 2.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M). Gọi H là giao điểm của AK và MN.

a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh AK.AH = R².

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua (ảnh 1)

a) Ta có: \(\widehat {AKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp đường tròn (O)) \( \Rightarrow \widehat {HKB} = 90^\circ \).

Có: \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB} = 90^\circ \) (MN\( \bot \)AB; H, C ∈ MN)

Xét tứ giác BCHK có \(\widehat {HCB} + \widehat {HKB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.

b) Xét \(\Delta ACH\) và \(\Delta AKB\) có:
\(\widehat {BAK}\) chung

\(\widehat {ACH} = \widehat {AKB} = 90^\circ \) (cmt)

Suy ra \(\Delta AHC\) ᔕ \(\Delta AKB\)(g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AK}}\)

\( \Leftrightarrow \)AH.AK = AC. AB \( = \frac{R}{2}.2R = {R^2}\) (đpcm)

Câu 2

Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm x₁; x₂ mọi m.

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn:

x₁(1 + x₂) + x₂(1 + x₁) = 7.

Xem đáp án

Lời giải

x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1).

a) Thay m = 2 vào (1) ta được:

x² – 6x + 8 = 0

\(\Delta '\) = 3² – 8 = 1 > 0

Vậy với m = 2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = 3 + 1 = 4; x₂ = 3 – 1 = 2.

b) Phương trình (1) có:

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 1.4m\)

= m² + 2m + 1 – 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm.

c) Theo b) ta có phương trình (1) luôn có nghiệm.

Áp dụng hệ thức Vi−ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)(2)\\{x_1}{x_2} = 4m(3)\end{array} \right.\)

Theo để bài ta có:

x₁(1 + x₂) + x₂(1 + x₁) = 7

\( \Leftrightarrow \)x₁ + x₁x₂ + x₂ + x₁x₂ = 7

\( \Leftrightarrow \)(x₁ + x₂) + 2x₁x₂ = 7 (4)

Thay (2) và (3) vào (4) ta được:

2(m + 1) + 2.4m = 7

\( \Leftrightarrow \)2m + 2 + 8m = 7

\( \Leftrightarrow \) 10m = 5

\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3

Cho phương trình: x² – 2x + m = 0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình không thể có hai nghiệm cùng là số âm.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \). Hỏi trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?

1) \[\overrightarrow {OG} = \vec 0\].

2) Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

3) Tam giác ABC là tam giác đều.

4) Tam giác ABC là tam giác cân.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và kẻ HF vuông góc với AC.

a) CM: AE.AB = AF.AC;

b) Cho biết AB = 4 cm, AH = 3 cm. Tính AE và BE;

c) Cho biết \[\widehat {HAC} = 30^\circ \]. Tính FC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

A. 16.(4!)²;

B. 16.8!;

C. 32.(4!)²;

D. 32.8!.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao tuyến mp(SGM) với mp(ABCD). Tìm giao điểm I của GM và mp(ABCD).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số: \(y = \frac{m}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + 1\)để hàm số đạt cực đại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1 thì giá trị của m bằng?

Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 2. b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm x1; x2 mọi m. c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1(1 + x2) + x2(1 + x1) = 7.

Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình không thể có hai nghiệm cùng là số âm.

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và kẻ HF vuông góc với AC. a) CM: AE.AB = AF.AC; b) Cho biết AB = 4 cm, AH = 3 cm. Tính AE và BE; c) Cho biết \[\widehat {HAC} = 30^\circ \]. Tính FC.

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao tuyến mp(SGM) với mp(ABCD). Tìm giao điểm I của GM và mp(ABCD).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số: \(y = \frac{m}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + 1\)để hàm số đạt cực đại x₁, x₂ thỏa mãn x₁ + 2x₂ = 1 thì giá trị của m bằng?

Cho phương trình: x² – 2x + m = 0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình không thể có hai nghiệm cùng là số âm.

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và kẻ HF vuông góc với AC.

a) CM: AE.AB = AF.AC;

b) Cho biết AB = 4 cm, AH = 3 cm. Tính AE và BE;

c) Cho biết \[\widehat {HAC} = 30^\circ \]. Tính FC.