Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là R (hay luôn xác định trên R):

a) y = f(x) = \(\frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + 3m + 5}}\)

b) y = f(x) = \(\sqrt {{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + m - 6} \)

c) y = f(x) = \(\frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 2(m + 3)x + m + 9}}\)

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} \)

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), rồi suy ra cosA

b) Gọi G là trọng tâm của △ABC. Tính \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC} \)

c) Tính giá trị biểu thức S = \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \)

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D ∈ BC). Tính \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) theo \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} \)suy ra AD.

Một thiết bị gồm có 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian T, việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau và với các xác suất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận hư hỏng. Tìm xác suất thiết bị hoạt động tốt trong thời gian T đó.

Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác xuất để trong 12 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất ra có

a) 2 phế phẩm

b) không quá 2 phế phẩm.

Cho (O;R) đường kính AD, dây AB , qua B kẻ dây BC vuông góc AD tại H . Tính bán kính R của đường tròn biết AB = 10 cm, BC = 12 cm.

Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.

a) Chứng minh DE = BF.

b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh \(\widehat {DHF}\) = 90°

c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.

d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.