Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau tại K.

a) Tứ giác OBKC là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh rằng AB = OK.

c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông.

Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), E là trung điểm của BC. Kẻ EF vuông góc với AB tại F, ED vuông góc với AC tại D. Gọi O là giao điểm của AE và DF.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

b) Gọi K là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh tứ giác AECK là hình thoi.

c) Chứng minh rằng ba điểm B, O, K thẳng hàng.

d) Kẻ EM vuông góc với AK tại M. Chứng minh: \(\widehat {DMF} = 90^\circ \).

Nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn sinA = cosB + cosC thì tam giác ABC là tam giác gì ?

Tính chiều cao CH của tháp ở bên kia sông biết AB = 25 m, \(\widehat {HAC} = 32^\circ \), \(\widehat {HBC} = 43^\circ \), và ba điểm A, B, H thẳng hàng. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho tam giác nhọn ABC, vẽ các đường cao BD, CE.

a) Chứng minh rằng: ∆ADB đồng dạng với ∆AEC.

b) Chúng minh rằng: ∆ADE đồng dạng với ∆ABC.

c) Vẽ EF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng: AE.DF = AF.BE.

d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các doạn thắng BD, CE. Chứng minh rằng: Hai góc BAC và MAN có chung tia phân giác.

Tính tổng: S₁ = 1 + 2 + 3 + ... + 999.

Cho hàm số y = x + 1 có đồ thị là (d) và hàm số y = –x + 3 có đồ thị là (d'):

a, Vẽ (d) và (d') trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ.

b, Hai đường thẳng (d) và (d') cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B, C (tìm tọa độ điểm C bằng phương pháp đại số).

c, Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (với đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm).

d, Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 1 với trục Ox.

Cho tam giác ABC, vẽ AH vuông góc vs BC (H thuộc BC), trên tia AH lấy D sao cho AH = HD. Chứng minh:

a) Tam giác ABH bằng tam giác DBH.

b) AC = CD.

c) Qua A kẻ đg thẳng song song vs BD cắt BC tại E. Chứng minh H là trung điểm của BE.