Câu hỏi:
16/05/2023 395
Cho tam giác ABC nhọn có \(\widehat A = 70^\circ \) và điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB. Gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cách AB, AC theo thứ tự tại M, N.
a) Tính các góc của tam giác AEF.
b) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc MDN.
c) Tìm vị trí của D trên cạnh BC để tam giác DMN có chu vi nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC nhọn có \(\widehat A = 70^\circ \) và điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB. Gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cách AB, AC theo thứ tự tại M, N.
a) Tính các góc của tam giác AEF.
b) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc MDN.
c) Tìm vị trí của D trên cạnh BC để tam giác DMN có chu vi nhỏ nhất.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì E đối xứng D qua AB nên AB là trung trực của DE
Suy ra AE = AD
Do đó tam giác AED cân tại A
Mà AB là đường trung trực
Suy ra AB là phân giác của \(\widehat {DA{\rm{E}}}\)
Do đó \(\widehat {DAB} = \widehat {BA{\rm{E}}} = \frac{1}{2}\widehat {DA{\rm{E}}}\)
Vì F đối xứng D qua AC nên AC là trung trực của DF
Suy ra AF = AD
Do đó tam giác AFD cân tại A
Mà AC là đường trung trực
Suy ra AC là phân giác của \(\widehat {DAF}\)
Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {CAF} = \frac{1}{2}\widehat {DAF}\)
Ta có \(\widehat {F{\rm{AE}}} = \widehat {F{\rm{AD}}} + \widehat {DAE} = 2\widehat {CA{\rm{D}}} + 2\widehat {BAD} = 2\widehat {BAC} = 2.70^\circ = 140^\circ \)
Ta có AF = AE (= AD)
Suy ra tam giác AFE cân tại A, do đó \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}}\]
Xét tam giác AEF có
\[\widehat {{\rm{AFE}}} + \widehat {{\rm{AEF}}} + \widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)
Mà \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}},\widehat {FA{\rm{E}}} = 140^\circ \] (chứng minh trên)
Suy ra \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}} = \frac{{180^\circ - 140^\circ }}{2} = 20^\circ \]
b) Xét DAME và DAMD có
AM là cạnh chung;
\(\widehat {E{\rm{A}}M} = \widehat {DAM}\)(chứng minh trên);
AD = AE (chứng minh trên)
Do đó DAME = DAMD (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AE}}M} = \widehat {ADM}\) (hai góc tương ứng)
Xét DANF và DAND có
AN là cạnh chung;
\(\widehat {{\rm{FAN}}} = \widehat {DAN}\)(chứng minh trên);
AD = AF (chứng minh trên)
Do đó DANF = DAND (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {ADN}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {{\rm{AE}}M} = \widehat {ADM}\), \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}}\]
Suy ra \(\widehat {{\rm{ADM}}} = \widehat {ADN}\)
Do đó DA là tia phân giác của góc MDN.
c) Gọi giao điểm của DE và AB là P, giao điểm của DF và AC là Q
Khi đó P là trung điểm của DE, Q là trung điểm của DF
Xét tam giác DFE có P, Q lần lượt là trung điểm của DE, DF
Suy ra PQ là đường trung bình
Do đó PQ // FE và \(PQ = \frac{1}{2}F{\rm{E}}\)
Vì M thuộc trung trực của DE nên MD = ME
Vì N thuộc trung trực của DF nên ND = NF
Chu vì tam giác DMN là
DM + DN + MN = ME + NF + MN = FE
Để chu vi tam giác DMN nhỏ nhất
⇔ FE nhỏ nhất
⇔ PQ nhỏ nhất (vì \(PQ = \frac{1}{2}F{\rm{E}}\))
⇔ PQ // BC và \(PQ = \frac{1}{2}BC\)
⇔ PQ là đường trung bình của tam giác ABC
⇔ D là trung điểm của BC
Vậy D là trung điểm của BC thì chu vi tam giác DMN nhỏ nhất.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Ta có
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC} = a.a.c{\rm{os60}}^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).
b) Ta có
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - BA.BC.cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - BA.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{ - {a^2}}}{2}\).
c) Gọi E là trung điểm của BC.
Suy ra \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OE} \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = 2\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {CB} \)
\( = 2{\rm{O}}E.CB.co{\rm{s}}\left( {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)
\( = 2{\rm{O}}E.CB.\cos 90^\circ = 0\).
d) Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = AC.BC.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = AC.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{{a^2}}}{2}\)
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - 6\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)
\( = {a^2} + \frac{{3{{\rm{a}}^2}}}{2} + {a^2} - 3{{\rm{a}}^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Lời giải
Lời giải
a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC
Nên DM ⊥ AB và ME ⊥ AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Suy ra ADME là hình chữ nhật.
b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC
Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE
Mà \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).
c) Ta có AD ⊥ AC và ME ⊥ AC, suy ra AD // ME
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra E là trung điểm của AC
Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC
Suy ra QE là đường trung bình
Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\) (1)
Ta có DM ⊥ AB và AB ⊥ AC
Suy ra DM // AC
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra D là trung điểm của AB
Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM
Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM
Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ
Do đó DPQE là hình bình hành.
Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)
Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC
Suy ra M là trung điểm PQ
Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ
Suy ra AM là đường trung bình của DPQE
Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F
Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O
Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)
Ta xét ΔBAM nếu DP ⊥ BM thì AM ⊥ BM
Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Suy ra ΔABC vuông cân tại A
Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
Nhắn tin Zalo