Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 61,5 m, chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Có tất cả 18 quả táo, cam và xoài. Số quả cam bằng \(\frac{1}{2}\) số quả táo. Số quả xoài gấp 3 lần số quả cam. Tính số quả táo.

Phân tích đa thức thành nhân tử:  x² – y² + 12y – 36.

Cho hàm số y = (2m – 1)x + 2. Tìm m để:

a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất;

b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến;

c) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A (2; 4);

d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x.

Tìm x, biết: \[\frac{1}{4}{x^2} - \left( {\frac{1}{2}x - 4} \right)\frac{1}{2}x = - 14\].

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF, gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:

Tứ giác MANF là hình vuông.