Cho đa thức \(G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23\) với b là một số cho trước sao cho \(\frac{1}{2} + b\) là số nguyên. Chứng tỏ rằng: G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = - {x^3}{y^2} + 2{x^2}{y^5} - \frac{1}{2}xy\) tại \(x = 2;y = \frac{1}{2}\);

b) \(B = {y^{12}} + {x^5}{y^5} - 100{x^4}{y^4} + 100{x^3}{y^3} - 100{x^2}{y^2} + 100xy - \sqrt {36} \) tại x = 99, y = 0;

c) \(C = x{y^2} + {5^2}xz - \sqrt 3 xy{z^3} + 25\) tại \(x = \frac{{ - 1}}{2};y = - \sqrt 3 ;z = 2\).

Thực hiện phép tính:

a) xy³ ‒ 2xy³ ‒ 12xy³;

b) \(\frac{{ - 12}}{{43}}{x^2}y + 2{x^2}y + \frac{{ - 31}}{{43}}{x^2}y\);

c) \(\frac{{ - \sqrt {16} }}{{75}}{x^6}{y^9}z + \frac{{ - \sqrt {49} }}{{15}}{x^6}{y^9}z - \frac{1}{5}{x^6}{y^9}z\).

Thu gọn mỗi đa thức sau:

a) \({x^2}{y^5} + 2x{y^2} - {x^2}{y^5} + \frac{{24}}{{35}}x{y^2}\);

b) ‒11y²z³ ‒ 22xy³z³ + 2y²z³ ‒ 33xy³z³ ‒ 72;

c) \(\frac{{\sqrt 4 }}{{41}}{x^2}{y^4}{z^3} + {x^2}{y^4}z + \frac{{39}}{{41}}{x^2}{y^4}{z^3} - {x^2}{y^4}z + {z^{18}}\).

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

 \[\frac{{\sqrt 2 }}{{11}}x;{\rm{\;\;\;\;\;\;}} - 3x + {y^4};{\rm{\;\;\;\;\;\;\;}} - 3x{y^4}z;{\rm{\;\;\;\;\;\;\;}}\frac{{ - 1}}{{321}}{x^3}{y^5} + 7\].

b) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

 \[\frac{{ - 13}}{{21}}{x^3}{y^2} + 9x{y^6} - 8;{\rm{\;\;\;\;\;}}x + y;{\rm{\;}}xyz + \sqrt 2 ;{\rm{\;\;\;\;\;\;}}\frac{{x - 5z}}{{{x^2} + {z^2} + 1}}.\]

Thu gọn mỗi đơn thức sau:

a) \(\frac{{ - 9}}{{17}}{x^{23}}{y^{22}}{y^{14}}\).

b) \(\frac{2}{{\sqrt {121} }}x{y^3}z{y^2}{z^3}\).

c) \(\frac{{ - 187}}{{124}}{x^4}{y^6}{z^8}{x^5}{y^2}{z^{10}}\).