Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) M = (x ‒ 1)(x² + x + 1) ‒ x²(x ‒ 1) ‒ x² ‒ 23;

b) \(N = \left( {x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {{x^2} + 2y} \right) - x\left( {{x^2} + 2y} \right) + y\left( {\frac{1}{2}{x^2} + y} \right) - \frac{1}{2}\).

Lời giải

a) Phần còn lại của mảnh đất gồm bốn miếng đất bằng nhau có dạng hình chữ nhật với chiều dài bằng \(\frac{{x - 1}}{2}\left( {\rm{m}} \right)\), chiều rộng bằng \(\frac{{y - 1}}{2}\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy đa thức biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh đất đó là:

 \(S = 4 \cdot \frac{{x - 1}}{2} \cdot \frac{{y - 1}}{2} = xy - x - y + 1\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

b) Thay x = 9; y = 5,4 vào S ta có:

S = 9.5,4 – 9 – 5,4 + 1 = 48,6 – 9 – 5,4 + 1 = 35,2 (m²).

Lời giải

Ta có:

P = (2y ‒ x)(x + y) + x(y ‒ x) ‒ 2y(x + 5y) ‒ 1

 = 2xy + 2y² ‒ x² ‒ xy + xy ‒ x² ‒ 2xy ‒ 10y² ‒ 1

 = (2xy – xy + xy – 2xy) + (2y² ‒ 10y²) + (‒ x² ‒ x²) – 1

 = ‒8y² ‒ 2x² ‒ 1.

Do với mọi giá trị của x, y ta có: x² ≥ 0, y² ≥ 0 nên ‒ 2x² ≤ 0, ‒8y² ≤ 0

Suy ra ‒8y² ‒ 2x² ‒ 1 ≤ ‒1 với mọi giá trị của biến x, y.

Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x và y.