Chứng minh biểu thức B = x⁵ ‒ 15x² ‒ x + 5 chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

Lời giải

Trước hết, ta chứng minh (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

Ta có: x⁵ ‒ x = x(x⁴ ‒ 1) = x(x² ‒ 1)(x² + 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)

• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 1 thì x ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 2 thì x² + 1 = (5k + 2)² + 1 = 25k² + 20k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 3 thì x² + 1 = (5k + 3)² + 1 = 25k² + 30k + 10 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 4 thì x + 1 = 5k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

Do đó x⁵ ‒ x ⋮ 5 với mọi số nguyên x.

Ta có: x⁵ ‒ x ⋮ 5; 15x² ⋮ 5; 5 ⋮ 5 nên x⁵ ‒ 15x² ‒ x + 5 ⋮ 5 với mọi số nguyên x.

Vậy B chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.