Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số \(\frac{{{n^3} + 2n}}{{{n^4} + 3{n^2} + 1}}\) là phân số tối giản.

Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và đường thẳng BQ cắt AI tại H.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

b) Chứng minh CH vuông góc AB.

c) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Cho a là góc tù và \(\sin a = \frac{4}{5}\). Tính A = 2sina – cosa.

Tìm điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m.

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 có hai điểm cực trị x₁, x₂ đồng thời y(x₁).y(x₂) = 0 là

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\).

b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.

c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.

Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh:

a) BC // DE.

b) AM = AN.

Xác định hàm số bậc hai y = 2x² + bx + c biết đồ thị của nó có đỉnh I(−1; −2).