Câu hỏi:
03/07/2023 582Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB).Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ^ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.
Suy ra MA = MB.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)
Lại có OA = OB =R.
Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)
Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó MO ^ AB tại K và K là trung điểm AB.
b) Xét ∆OHM và ∆OKI, có:
\(\widehat O\) chung.
\[\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = 90^\circ \]
Do đó ∆OHM ᔕ ∆OKI (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OM}}{{OI}}\).
Do đó OH.OI = OM.OK.
Xét ∆AOM vuông tại A có AK là đường cao:
OA2 = OK.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy OH.OI = OA2 = OB2 (điều phải chứng minh).
c) Ta có \[\widehat {OAM} = 90^\circ \;\left( {gt} \right)\]
Suy ra O, A, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Tương tự, ta có O, H, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Khi đó tứ giác AHOM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {AHI}\)(1)
Ta có \[\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \](MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Suy ra \[\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 180^\circ \]
Do đó tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Vì \[\widehat {AMO} = \widehat {ABO}\](cùng chắn cung ) (2)
Từ (1), (2), suy ra \[\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\]
Xét ∆IHN và ∆IKO, có:
\[\widehat I\] chung.
\[\widehat {IHN} = \widehat {IKO} = 90^\circ \]
Do đó ∆IHN ᔕ ∆IKO (g.g).
Suy ra \(\frac{{IH}}{{IK}} = \frac{{IN}}{{IO}}\)
Do đó IH.IO = IN.IK (3)
Xét ∆AHI và ∆OBI, có:
\[\widehat I\]chung.
\[\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\](chứng minh trên).
Do đó ∆AHI ᔕ ∆OBI (g.g).
Suy ra \[\frac{{IA}}{{IO}} = \frac{{IH}}{{IB}}\].
Do đó IA.IB = IH.IO (4)
Từ (3), (4), suy ra IA.IB = IN.IK (điều phải chứng minh).
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.
Câu 2:
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho AM < MB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia OM tại S. Đường cao AH của tam giác SAO (H thuộc SO) cắt đường tròn (O) tại D.
1) Chứng minh: SD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2) Kẻ đường kính DE của đường tròn (O). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD và tính độ dài đoạn thẳng AE theo R và r.
3) Cho AM = r. Gọi K là giao điểm của BM và AD. Chứng minh: \(\frac{{M{D^2}}}{6} = KH\,.\,KD\).
Câu 3:
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.
Câu 4:
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a.Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
a) Chứng minh \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.
c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách.
Câu 5:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần?
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
b) Chứng minh MN // (ABCD).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với (AMN).
về câu hỏi!